Mikä on liukuluku?

Todellisten (tai reaalisten) numeroiden esitysmuoto, jossa ne säilytetään mantissa ja eksponentissa, ovat liukulukuisia numeroita (ehkä kohta, kuten englanninkielisissä maissa). Tästä huolimatta numerolla on kiinteä suhteellinen tarkkuus ja vaihteleva absoluuttinen arvo. Useimmin käytetty esitys on IEEE 754 -standardin mukainen. Matemaattiset toiminnot, joissa käytetään liukulukuisia numeroita, toteutetaan tietokonejärjestelmissä - sekä laitteistossa että ohjelmistossa.

Kohta tai pilkku

Yksityiskohtaisessa luettelossa desimaaliparaattorista mainitaan ne englanninkieliset ja englanninkieliset maat, joissa numeerisessa tietueessa murto-osa erotetaan pisteestä koko osasta ja siksi näiden maiden terminologiaa kutsutaan kelluvaksi - "kelluva piste". Venäjän federaatiossa koko fraktionaalinen osa on perinteisesti erotettu pilkulla, minkä vuoksi historiallisesti tunnustettu termi "kelluva pistemäärä" tarkoittaa tätä käsitystä. Nykyään molemmat tekniset dokumentit ja venäjänkielinen kirjallisuus ovat molemmat näistä vaihtoehdoista täysin hyväksyttäviä.

Termi "liukulukuiset numerot" johtuu siitä, että numeron sijaintiesitys edustaa pilkkua (tavallinen desimaali tai binääri - tietokone), joka sopii mihin tahansa merkkijonoon. Tätä ominaisuutta on käsiteltävä erikseen. Tämä tarkoittaa, että kelluvan pistemäärän esittämistä voidaan pitää eksponentiaalisen numeron merkinnän tietokoneen toteutuksena. Etuna tällaisen esityksen käyttämisestä kiinteän pilkun ja kokonaislukujen muodossa olevan esityksen kanssa on se, että arvoalue kasvaa oleellisesti, kun taas suhteellinen tarkkuus pysyy ennallaan.

esimerkki

Jos luvun pilku on kiinteä, voit kirjoittaa sen vain yhteen muotoon. Esimerkiksi annetaan kuusi bittiä kokonaislukuina ja kaksi bittiä murto-osassa. Tämä voidaan tehdä vain tällä tavalla: 123456,78. Liukulukujen muoto antaa täydellisen ilmaisun. Esimerkiksi annetaan samat kahdeksan bittiä. Tallennuksen vaihtoehdot voivat olla niin kauan kuin ohjelmoija ei tarvitse tehdä kaksinumeroista lisäkenttää, jossa hän kirjoittaa eksponentit, jotka ovat yleensä 10, 0-16, ja kokonaismäärä on kymmenen: 8 + 2.

Joitakin kirjoitusvaihtoehtoja, jotka mahdollistavat liukulukujen muodon: 12345678000000000000; +0,0000012345678; 123,45678; 1,2345678 ja niin edelleen. Tällä formaatilla on jopa nopeuden mittayksikkö! Pikemminkin tietokonejärjestelmän nopeus, joka vahvistaa nopeuden, jolla tietokone suorittaa toimintoja, joissa on liukulukujen numerot. Tämä mitataan FLOPS: n (liukulukuisten toimintojen sekunnissa, mikä tarkoittaa operaatioiden lukumäärää sekunnissa liukuluvuissa). Tämä yksikkö on tärkein tietokonejärjestelmän nopeuden mittauksessa.

rakenne

Jos haluat kirjoittaa numeron kelluvaan muotoon, tarvitset seuraavaa tapaa tarkkailla tarvittavien osien järjestystä, koska tämä merkintä on eksponentiaalista, jossa reaaliluvut on esitetty mantissa ja järjestyksessä. Tämä on välttämätöntä liian suureen ja liian pieneen numeroon, on paljon helpompaa lukea niitä. Pakolliset osat: tallennettu numero (N), mantissa (M), tilauksen merkki (p) ja tilaus (n). Viimeiset kaksi merkkiä muodostavat numeron ominaisuuden. Näin ollen N = M. N ^s . Joten numerot kirjoitetaan kelluvalla pilkulla. Esimerkkejä vaihdellaan.

1. On tarpeen kirjoittaa miljoonasumma niin, että se ei sekoita nollia. 1000000 on normaali merkintä, aritmeettinen. Tietokone näyttää tältä: 1.0 ^. 10 ⁶ . Toisin sanoen kymmenen kuudennessa asteessa - kolme merkkiä, jotka sopivat peräti kuusi nollia. Tällöin esiintyy kiinteä- ja kelluvien pisteiden esitystapa, jossa voit välittömästi havaita oikeinkirjoituksen eroja.

2. Ja niin vaikea luku kuin 1435000000 (miljardi neljäsataa kolmekymmentäviisi tuhatta) voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa myös: 1.435 ^. 10 ⁹ , vain. Samoin voit kirjoittaa minkä tahansa numeron miinusmerkillä. Tällöin kiinteäpiste- ja liukulukujen numerot eroavat toisistaan.

Mutta nämä ovat suuria numeroita, miten käsitellä pieniä? Kyllä, liian helppoa.

3. Esimerkiksi kuinka määritellä miljoonasosa? 0,000001 = 1,0 ^. 10 ^-6 . Merkittävä helpotus numeron kirjoittamiseen ja sen lukemiseen.

4. Ja vaikeampaa? Viisisataa ja neljäkymmentäkuusi miljardia: 0.000000546 = 546 ^. 10 ^-9 . Tässä. " Liukulukujen esitysalue on hyvin laaja.

muoto

Numeron muoto voi olla normaali tai normalisoitu. Normaali - tarkkailee aina liukulukujen tarkkuutta. On huomattava, että tässä muodossa oleva mantissa, huomioimatta merkkiä, on puolivälissä väli: 0 1, joten 0 ⩽ a <1. Numero ei menetä tarkkuuttaan tavallisessa muodossa. Numeron normaalin muodon haittapuoli on se, että lukuisia numeroita voidaan kirjoittaa eri tavoin, toisin sanoen epäselväksi. Esimerkki saman rekisterin eri rekisteristä: 0,0001 = 0, 000001 ^. 10 ² = 0,00001 ^. 10 ¹ = 0,0001 ^. 10 ⁰ = 0,001 ^. 10 ^-1 = 0,01 ^. 10 ^-2 ja niin voit vielä paljon. Tästä syystä tietotekniikassa käytetään toista normalisoitua tietueen muotoa, jossa desimaalilukujen mantissa on arvo yhdestä (mukaan lukien) ja siten jopa kymmenestä (ei sisällyttävää) ja samalla tavoin binääriluvut mantissa arvosta yhdestä (mukaan lukien) kahdesta (ei lukien).

Tällöin 1 ⩽ a <10. Nämä ovat binäärisiä liukulukuisia numeroita, ja tämä kirjoitusmuoto korjaa minkä tahansa numeron (paitsi nolla) ainutkertaisesti. Mutta on myös haittapuoli - mahdottomuus tässä muodossa on nolla. Tietotekniikka tarjoaa siis erityisominaisuuden (bitti) numeron 0 käytön. Mantisaanin numeron (suurin luku) numeerinen kokonaisuus binaarisessa numerossa, paitsi nolla normalisoidussa muodossa, on 1 (implisiittinen yksikkö). Tällaista tietuetta käytetään IEEE 754 -standardissa. Paikkamerkintäjärjestelmät, joissa tukiasema on suurempi kuin kaksi (ternäärinen, kvaternaarinen ja muu järjestelmä), tätä ominaisuutta ei ole hankittu.

Todelliset numerot

Kelluvat pistemäärät ovat yleensä ainoa tapa, koska tämä ei ole ainoa, mutta erittäin kätevä tapa edustaa reaalilukuja, kuten kompromissi arvojen ja tarkkuuden välillä. Tämä on eksponentiaalisen datan analogi, joka suoritetaan vain tietokoneessa. Kelluviivainen luku on joukko yksittäisiä bittejä, jotka on erotettu merkillä, tilauksella (eksponentilla) ja mantilla (mantilla). Yleisin IEEE 754 -muoto on liukulukuinen numero joukosta bitejä, jotka koodaavat yhtä osaa mantissa, toinen osa on teho ja yksi merkki osoittaa numero-merkin: nolla on, jos se on positiivinen, yksikkö, jos numero on negatiivinen. Koko tilaus on kirjoitettu kokonaislukuna (koodi muuttuvalla), ja mantissa on normalisoituneessa muodossa, sen murto-osa on binäärisessä järjestelmässä.

Jokainen merkki on yksi bitti, joka osoittaa merkin täysin kelluvan pisteen numerolle. Mantissa ja järjestys ovat kokonaislukuja, ne yhdistetään merkkiin ja muodostavat kelluvan pisteen numeron. Tilausta voidaan kutsua eksponentiksi tai eksponentiksi. Kaikkia todellisia numeroita ei voida edustaa tietokoneessa niiden täsmällisessä merkityksessä, kun taas loput esitetään likimääräisissä arvoissa. Paljon yksinkertaisempi muunnos on edustaa reaaliluku kiinteällä pisteellä, jossa todelliset ja kokonaiset osat säilytetään erikseen. Todennäköisesti, siten, että koko osa on aina allokoitu X-bitille ja murto-Y-biteille. Mutta prosessoriarkkitehtuurit eivät tiedä tätä menetelmää, ja siksi suosikki annetaan kelluvan pisteen numerolle.

lisäys

Liukulukulukujen lisääminen on melko yksinkertaista. IEEE 754 -standardin yhteydessä numeron yhdellä tarkkuudella on valtava määrä bittejä, joten on parempi siirtyä suoraan esimerkkeihin, ja on parasta ottaa pienimmän edustavan kelluvan pisteen numeroa. Esimerkiksi kaksi numeroa - X ja Y.

Vaiheet ovat:

A) Numerot on esitettävä normaalissa muodossa. Ilmeisesti piilotettu yksikkö tulee näkyviin. X = 1,110 ^. 2 ² ja Y = 1 000 ^. 2 ⁰ .

B) Lisäysprosenttia voidaan jatkaa vain vertaamalla eksponentteja, ja tämän vuoksi on tarpeen kirjoittaa Y: n arvo uudelleen. Se vastaa normalisoidun lukumäärän arvoa, vaikkakaan se todellisuudessa poistetaan käytöstä.

Laske asteikon 2 - 0 = 2 eksponenttien ero. Siirrä nyt mantisaa kompensoimaan nämä muutokset, eli lisää 2 toisen summan eksponenttiin, jolloin piilotetun yksikön pilkku siirretään kahteen pisteeseen vasemmalle. Tästä saadaan 0,0100 ^. 2 ² . Tämä vastaa Y: n edellistä arvoa, eli jo Y '.

C) Nyt meidän on kumottava X-kirjaimen ja säädetyn Y. mantissat.

1,110 + 0,01 = 10,0

Eksponentti on edelleen sama kuin esitetty indikaattori X, joka on 2.

D) Edellisessä vaiheessa vastaanotettu määrä on siirtänyt normalisointiyksikön, joten sinun on siirrettävä eksponentti ja toistettava summaus. 10.0, jossa on kaksi pilkkua pilkulla vasemmalla, nyt numero on normalisoitava, eli siirrä pilkua vasemmalle yhdellä pisteellä ja nosta esponenttia arvoon 1. Tämä on 1000 ^. 2 ³ .

E) On aika muuntaa kelluva piste numeroksi yksitavuisesta järjestelmästä.

johtopäätös

Kuten näet, lisäämällä tällaisia numeroita ei ole liian vaikeaa, mikään pilkku ei kellu. Jos tietenkään ei pidä pienempää numeroa pienemmäksi suuremmaksi (esimerkkinä, kun se oli Y: stä X: ksi) ja myös status quon palauttamiseen, eli korvauksen antamiseen - pilkun siirtämiseen mantisalin vasemmalle puolelle. Kun lisäys on jo tehty, se on hyvin mahdollista ja toinen vaikeus - renormalisaatio ja bitin katkaisu, jos niiden numero ei vastaa sen muotoa, joka edustaa sitä.

kertolasku

Binäärisysteemi tarjoaa kaksi tapaa kertoa kelluvia pisteitä. Tämä tehtävä voidaan suorittaa kertomalla, joka alkaa vähiten merkitsevillä biteillä ja joka alkaa kertoimella suurimmilla numeroilla. Molemmat tapaukset sisältävät useita toimintoja, lisäämällä peräkkäin yksityisiä teoksia. Näitä lisäystoimia ohjataan kertoimen biteillä. Tällöin jos kertojan jollakin numerolla on yksi, niin osittaisten tuotteiden summa kasvaa kerrottuna vastaavalla muutoksella. Ja jos nolla kerrotaan kertoimessa, kerrointa ei lisätä.

Jos vain kahden numeron kertolasku suoritetaan, tuotteen numerot eivät saa ylittää kertoimien lukumäärää enemmän kuin kaksi kertaa, ja suurille numeroille tämä on erittäin paljon. Jos useampia numeroita kerrotaan, tuotteella ei ole riskiä siitä, että se ei ole ruudulle. Siksi digitaalisten automaattien numeroiden lukumäärä on täysin rajallinen ja tämä pakottaa meidät rajoittamaan itseämme summittaisten numeroiden lukumäärän mukaan. Ja jos numeroiden määrä on rajallinen, virhe tulee väistämättä työhön. Jos laskutoimitusten määrä on suuri, virheet asetetaan päällekkäin, minkä seurauksena kokonaisvirhe suurenee huomattavasti. Tässä ainoa tie ulos on pyöristää kertoja tuloksia, niin virhe tuotteen osoittautuu vaihtelevaksi. Kun monistustoimenpide suoritetaan, on mahdollista ylittää numeroiden verkko, mutta vain alemman kertaluvun puolelta, koska puolipisteen muodossa esitetyille numeroille asetettu rajoitus on kiinteä.

Joitakin selityksiä

On parempi aloittaa ensin. Yleisin tapa edustaa numeroa on merkkijono kokonaislukuna, jossa pilkulla tarkoitetaan aivan loppua. Tämä merkkijono voi olla minkä tahansa pituinen, ja pilkku on sen eniten tarvittava paikka, erottamalla koko luku sen murto-osasta. Järjestelmän kiinteän pisteen esitysmuodon välttämättömyys asettaa pilkulle sijainnin tiettyjä ehtoja. Eksponentiaalinen notaatio käyttää numeerien tavanomaista normalisoitua esitystä. Tämä on aqn {\ displaystyle aq ^ {n}} aq ⁿ . Tässä {\ displaystyle a} ^a , ja tätä pitsiä kutsutaan mantissaksi. Juuri tästä sanottiin, että 0 ⩽ a n on kokonaisluku, eksponentti ja q {/ displaystyle q} ^q on myös kokonaisluku, joka on annetun tietojärjestelmän perusta (ja kirjaimessa yleensä 10). Mantissa jättää pilkun ensimmäisen numeron jälkeen, joka ei ole nolla, mutta tiedot todellisen arvon arvosta siirretään edelleen tietueella.

Liukulukuluku on hyvin samankaltainen kuin standardin vakiomerkinnät numeroille, vain eksponentti ja mantissa kirjataan erikseen. Jälkimmäinen on myös normalisoidussa muodossa - kiinteällä pilkulla, joka korvaa ensimmäisen merkittävän numeron. Yksinkertaisesti kelluva pilkku käytetään pääasiassa tietokoneessa, eli elektronisessa esityksessä, jossa järjestelmä ei ole desimaali, vaan binääri, jossa myös mantissa on denormaloitu pilkulla - nyt se on ennen ensimmäistä numeroa, sitten ennen sitä eikä sen jälkeen, jolloin koko osa Periaatteessa se ei voi olla. Esimerkiksi kotimainen desimaalijärjestelmä antaa sen yhdeksän binaarijärjestelmään väliaikaiseen käyttöön. Ja hän kirjoittaa sen kelluvilla mantissilla näin: +1001000 ... 0 ja +0 ... 0100 siihen. Mutta desimaalijärjestelmä ei voi tuottaa mahdollisimman monimutkaisia laskutoimituksia binaarissa käyttäen liukulukuista muotoa.

Pitkä aritmeettinen

Elektronisissa tietokoneissa on sisäänrakennetut ohjelmistopaketit, joissa mantissa ja eksponentille varatun muistin määrä on ohjelmoitu, rajoitettu vain tietokoneen kokoon. Tämä on kuinka kauan aritmeettinen näyttää, eli yksinkertaisia operaatioita tietokoneella suorittamilla numeroilla. Nämä ovat kaikki samoja - vähennyslasku ja lisäys, jako ja kertolasku, alkeistarpeet ja erektio juurille. Mutta vain numerot ovat täysin erilaisia, niiden bittisyvyys voi merkittävästi ylittää tietokoneen sanan pituuden. Tällaisten operaatioiden toteutus ei ole laitteisto, vaan ohjelmisto, mutta peruslaitteita käytetään laajalti numeerisesti paljon pienempien tilausten kanssa. On myös aritmeettinen, missä numeroiden pituus on rajoitettu vain muistin määrän - mielivaltaisen tarkkuuden aritmeettiseksi. Monilla aloilla käytetään pitkää aritmeettista materiaalia.

1. Koodin kokoamiseksi (prosessorit, vähän bittisiä mikro-ohjaimia - 10 bittiä ja 8-bittisiä bittilistoja, tämä ei selvästikään riitä käsittelemään tietoja Analogi-Digitaalisella tavalla, joten siksi ei tarvitse tehdä kauan aritmeettista.

2. Se on myös pitkä aritmeettinen käytetään salaus, joissa on tarpeen varmistaa tarkkuus tuloksen eksponentoinnin tai lisäämiseen ja ^10309. Kokonaisluku aritmeettinen käytetään modulo m - suuri luonnollinen luku, ja ei ole välttämättä yksinkertaista.

3. Ohjelmisto rahoittajien ja matemaatikot, myös ei ole ilman pitkää aritmeettinen, koska ainoa tapa tarkistaa laskelmien tulokset paperille - avulla tietokoneeseen, mikä takaa korkean tarkkuuden numerot. Liukuluku ne käsittävät useita pitkiä vastuuvapauden. Mutta tekniikan laskelmat ja tutkijoiden työtä edellytetään osallistuvan ohjelman laskelmia kovin usein, koska se on hyvin vaikeaa saada lähtötietoja tekemättä virheitä. ne ovat yleensä paljon runsaampi kuin pyöristäminen tuloksia.

Taistella virheitä

Kun useita operaatioita, joissa liukuluku, on hyvin vaikea arvioida tulosten tarkkuutta. Ei vielä keksitty täyttää kaikki matemaattinen teoria, joka auttaisi ratkaisemaan tämän ongelman. Mutta virhe kokonaisluku arvioida helposti. Mahdollisuus päästä eroon epätarkkuuksia pinnalla - vain käyttää vain määrän kiinteän pisteen. Esimerkiksi rahoitusohjelma rakennettu tämän periaatteen. On kuitenkin olemassa yksinkertaisempi: tarvittavan määrän numeroa desimaalipilkun jälkeen on etukäteen tiedossa.

Muut sovellukset eivät rajoitu, koska et voi työskennellä joko hyvin pieniä tai erittäin suuria määriä. Joten kun työ aina ottaa huomioon, että saattaa olla epätarkkuuksia ja koska johtaminen tulosten on tarpeen pyöreä. Lisäksi, automaattinen pyöristäminen on usein puutetta toiminta, ja näin ollen pyöristystä on erityisesti määritelty. Erittäin vaarallinen tässä suhteessa, vertailutoimenpide. Ei edes arvioida, paljonko tulevien virheiden on erittäin vaikeaa.