Peruskäsitteet todennäköisyysteoriaa. Lait todennäköisyysteoriaa

Monet ihmiset, kun edessä käsite "todennäköisyysteoriaa", peloissaan, ajattelematta, että se on jotain sietämätöntä, hyvin vaikeaa. Mutta se on oikeastaan ole niin traaginen. Tänään katsomme peruskäsitteet todennäköisyysteoriasta oppii ratkaisemaan ongelmia konkreettisin esimerkein.

tiede

Mitä tutkii matematiikan kuin "todennäköisyysteoriaa"? Se toteaa kuvioita satunnaisia tapahtumia ja muuttujia. Ensimmäistä kertaa kysymys huolissaan tutkijat kahdeksastoista-luvulla, kun opiskeli uhkapeli. Peruskäsitteet todennäköisyysteoriaa - tapahtuma. Se on mikä tahansa seikka, että mainitun kokemus tai havainto. Mutta mikä on kokemusta? Toinen peruskonsepti teorian todennäköisyys. Se tarkoittaa, että tämä osa olosuhteet eivät vahingossa luotu, ja jolla on tarkoitus. Mitä valvonta, on tutkija itse ei osallistu kokemusta, vaan yksinkertaisesti todistamassa näitä tapahtumia, sillä ei ole vaikutusta siihen, mitä on tapahtumassa.

Tapahtumat

Olemme oppineet, että perusajatusta teorian todennäköisyys - tapahtuman, mutta ei pitänyt luokitusta. Kaikki ne on jaettu seuraaviin ryhmiin:

• Luotettavia.
• Mahdotonta.
• Satunnainen.

Ei ole väliä mitä tapahtuma on, jota katseli tai syntyneet aikana kokeen, niihin vaikuttaa tätä luokitusta. Tarjoamme kaikenlaisia tavata erikseen.

tietyn tapahtuman

Tämä on tosiasia, johon tehdä tarvittavat joukoksi toimia. Jotta voidaan paremmin ymmärtää pohjimmiltaan se on parempi antaa muutamia esimerkkejä. Tämä on alisteinen lain ja fysiikan, kemian, talouden, ja korkeamman matematiikan. todennäköisyysteoriasta sisältää niin tärkeä konseptin merkittävä tapahtuma. Tässä muutamia esimerkkejä:

• Toimimme ja saa palkkaa muodossa palkat.
• No läpäissyt kokeet, läpäissyt kilpailun, jotta se saa palkkaa muodossa ottamista oppilaitoksen.
• Olemme investoineet rahaa pankissa, saada ne takaisin tarvittaessa.

Tällaiset tapahtumat ovat totta. Jos olemme täyttäneet kaikki tarvittavat edellytykset, muista saada toivottua tulosta.

mahdottomaksi tapahtuma

Nyt pidämme osatekijät teorian todennäköisyys. Tarjoamme mennä selvennyksiä seuraavanlaisia tapahtumia - nimittäin mahdotonta. Aloittaa määrätään tärkein sääntö - todennäköisyys mahdoton tapahtuma on nolla.

Tästä muotoilu ei voida poiketa ongelmien ratkaisussa. Havainnollistamaan esimerkkejä tällaisista tapahtumista:

• Vesi jäädytetään lämpötilassa lisättynä kymmenellä (se on mahdotonta).
• Puute sähköstä ei vaikuta tuotantoon (niin mahdottomalta kuin edellisessä esimerkissä).

Lisää esimerkkejä on annettu ei ole välttämätöntä, kuten edellä on kuvattu hyvin selvästi heijastavat ydin tähän luokkaan. Mahdoton tapahtuma koskaan tapahdu kokeen aikana missään olosuhteissa.

satunnaisia tapahtumia

Tutkimalla elementtejä todennäköisyysteoriasta erityistä huomiota olisi kiinnitettävä tietylle tapahtumalle. Nämä ovat niitä lukemalla tämän tiedettä. Seurauksena kokemuksen jotain voi tapahtua tai ei. Lisäksi testi rajoittamattoman määrän kertoja voidaan toteuttaa. Huomattavia esimerkkejä ovat:

• Nakata kolikon - se on kokemus, tai testin, menetys kotka - tätä tapahtumaa.
• Vetämällä pallon pussiin sokeasti - testissä jäi kiinni punainen pallo - tämän tapahtuman ja niin edelleen.

Esimerkkejä voi olla rajaton määrä, mutta yleensä on ymmärrettävä. Yhteenvetona ja systematisoida hankittua tietoa tapahtumista pöydän. todennäköisyys teoriaopinnot vain jälkimmäinen sellainen kaikkien esittelyyn.

lait

Todennäköisyysteoriasta - tiede, joka tutkii mahdollisuutta menetyksen tapauksessa. Kuten muutkin, sillä on joitakin sääntöjä. Seuraavat lait todennäköisyysteoriaa:

• Lähentyminen sekvenssit satunnaismuuttujien.
• Laki Suurten lukujen.

Laskettaessa mahdollisuus kompleksi voidaan käyttää monimutkaisia yksinkertainen tapahtumia saavuttaa tuloksia helpompi ja nopeampi tapa. On huomattava, että lait todennäköisyysteoriaa voidaan helposti osoittaa avulla joidenkin teoreemojen. Ehdotamme aloittaa tutustua ensimmäinen laki.

Lähentyminen sekvenssit satunnaismuuttujien

Huomaa, että lähentyminen eri tyyppiä:

• Sekvenssi satunnaismuuttujien lähentyminen todennäköisyys.
• Lähes mahdotonta.
• RMS lähentymistä.
• Lähentyminen jakelussa.

Joten, lennossa, on hyvin vaikea ymmärtää ydin. Tässä ovat määritelmiä, jotka auttavat ymmärtämään aiheeseen. Aluksi ensin katsoa. Sekvenssi kutsutaan lähentymistä todennäköisyys, jos seuraava ehto: n lähestyessä ääretöntä, numero haetaan sekvenssi on suurempi kuin nolla ja lähellä laitetta.

Siirry seuraavaan mielestä melko varmasti. He sanovat, että sekvenssi suppenee melkein varmasti satunnainen muuttuja n taipumus äärettömään, ja R, pyrkii arvo lähellä ykköstä.

Seuraavana tyyppi - lähentymistä RMS. Kun käytetään SC-oppimisen lähentyminen vektorin satunnainen prosessien vähentää tutkimiseen satunnainen koordinoida prosesseja.

Oli viimeinen tyyppi, katsotaanpa lyhyesti ja siirtyä suoraan ongelmien ratkaisemiseen. Lähentyminen jakelussa on toinen nimi - "heikko", niin miksi. Heikko lähentyminen - on lähentyminen jakaumafunktioita kaikissa kohdissa jatkuvuuden raja kertymäfunktio.

Muista pitää lupauksen: heikko lähentyminen eroaa kaikista edellä, että satunnaismuuttuja ei määritetty todennäköisyysavaruuden. Tämä on mahdollista, koska ehto on muodostunut yksinomaan käyttämällä jakaumafunktioiden.

Laki Suurten lukujen

Mainio apulainen todistuksessa lain tulee lauseet todennäköisyysteoriaa, kuten:

• Chebyshev eriarvoisuutta.
• Chebyshev lause.
• Yleistynyt Chebyshev lause.
• Markov lause.

Jos ajatellaan kaikkia näitä lauseet, ongelma saattaa kestää useita kymmeniä arkkia. Meillä on tärkein tehtävä - on sovellus todennäköisyysteoriaa käytännössä. Tarjoamme sinulle juuri nyt ja tehdä se. Mutta ennen pidämme aksioomat todennäköisyysteoriaa, ne ovat keskeisiä kumppaneita ongelmien ratkaisussa.

aksioomat

Ensimmäisestä, olemme jo nähneet, kun puhutaan mahdoton tapahtuma. Muistakaamme: todennäköisyys mahdoton tapahtuma on nolla. Esimerkiksi annoimme hyvin elävä ja mieleenpainuva: lumi laski ilman lämpötilassa kolmekymmentä astetta.

Toinen on seuraava: tietty tapahtuma todennäköisyydellä yhtenäisyyttä. Nyt näytämme, miten se on kirjoitettu avulla matematiikan kielellä: P (B) = 1.

Kolmas: Satunnainen tapahtuma voi tapahtua tai ei, mutta mahdollisuus on aina vaihdella nollasta yhteen. Mitä lähempänä on yhtenäisyys, sitä paremmat mahdollisuudet; jos arvo on lähellä nollaa, todennäköisyys on hyvin pieni. Kirjoitamme tätä matematiikan kielellä: 0

Harkitse viimeinen, neljäs aksiooma, että on: summa todennäköisyys kaksi tapahtumaa on yhtä suuri summa niiden todennäköisyys. Kirjoittaa Matemaattisesti ilmaistuna: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksioomat todennäköisyysteoriaa - se on yksinkertainen sääntö, joka ei ole vaikea muistaa. Yritetään ratkaista joitakin ongelmia, jotka perustuvat jo hankittua tietoa.

arpalippu

Tarkastellaan ensin Yksinkertaisin esimerkki - arpajaiset. Kuvittele, että olet ostanut arvan onnea. Mikä on todennäköisyys, että voitat vähintään kaksikymmentä ruplaa? Yhteenlaskettu levikki on mukana tuhat lippua, joista yksi on palkinto viisisataa ruplaa, tuhat ruplaa, kahdenkymmenen ja viidenkymmenen ruplaa, ja sata - viisi. Tehtäväksi teorian todennäköisyys perusteella, miten löytää tapa onnea. Nyt yhdessä analysoimme päätöksen yläpuolella Tehtävät mieltä.

Jos me ilmi palkinnoksi viisisataa ruplaa, niin todennäköisyys on yhtä suuri kuin 0,001. Miten saamme? Tarvitsee vain määrä "Lucky" liput jaettuna kokonaismäärä (tässä tapauksessa: 1/1000).

In - vahvistus sata ruplaa, todennäköisyys on yhtä suuri kuin 0,01. Nyt olemme toimineet samalla tavalla kuin edellinen toiminto (10/1000)

C - loppuratkaisu on kaksikymmentä ruplaa. Löytää todennäköisyydellä, se on yhtä suuri kuin 0,05.

Loput liput Meitä ei kiinnosta, koska heidän palkintorahaa on alittunut kunnossa. Sovelletaan neljäsosa selviö: Todennäköisyys voittaa vähintään kaksikymmentä ruplaa on P (A) + P (B) + P (C). P-kirjain tarkoittaa todennäköisyyttä alkuperästä tapahtuman, me aiemmissa vaiheissa jo löytänyt niitä. Jää vain antaa tarvittavat tiedot, vastaus saamme 0,061. Tämä numero on vastaus kysymykseen työpaikkoja.

korttipakan

Ongelmat todennäköisyyslaskenta on myös monimutkaisempia, esimerkiksi ottaa seuraava työ. Ennen kuin kannelta kolmestakymmenestäkuudesta korttia. Sinun tehtäväsi - tehdä kaksi korttia peräkkäin, sekoittamatta kasa, ensimmäinen ja toinen kortti on ässää, mailla ei ole merkitystä.

Aloita Millä todennäköisyydellä ensimmäinen kortti on ässä, tämä jaa neljällä ja kolmekymmentäkuusi. Aseta se sivuun. Saamme toinen kortti on ässä todennäköisyydellä kolmesataa ja kolmaskymmenesviides. Todennäköisyys toisen tapahtuman riippuu siitä, kumpi kortti me vedetään ensimmäinen, olemme kiinnostuneita, se oli ässä vai ei. Tästä seuraa, että jos riippuu tapahtuman A.

Seuraava vaihe löydämme todennäköisyys samanaikainen toteutus, eli kerrotaan A ja B Heidän työnsä on seuraava: todennäköisyys yhden tapahtuman kerrottuna ehdollinen todennäköisyys toisen, laskemme, olettaen, että ensimmäinen tapahtuma on esiintynyt, eli ensimmäinen kortti me vedetään ässä.

Tullakseen kaikki on selvää, antaa nimitys tekijöistä, kuten ehdollinen todennäköisyys tapahtuman. Se lasketaan olettaen, että tapahtuman tapahtui. Se lasketaan seuraavasti: P (B / A).

Me ulottuvat ratkaisu meidän ongelmaan: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) tai P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Todennäköisyys on (4/36) _* ((3/35) / (4/36) lasketaan pyöristämistä lähimpään sadasosaan Olemme: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. todennäköisyys, että me vetää pois kaksi ässää peräkkäin on yhtä suuri kuin yhdeksän sadasosia. arvo on hyvin pieni, tästä seuraa, että todennäköisyys tapahtuman esiintyminen on erittäin alhainen.

unohdettu huone

Tarjoamme tehdä joitakin enemmän vaihtoehtoja työpaikkojen tutkii teorian todennäköisyys. Esimerkkejä ratkaisuja joidenkin niistä olet nähnyt tämän artikkelin, yritä ratkaista seuraava ongelma: poika unohti puhelinnumeron viimeinen numero hänen ystävänsä, mutta koska puhelu oli hyvin tärkeä, sitten alkoi poimia kukin vuorollaan. Meidän täytyy laskea todennäköisyys, että hän kutsuisi enintään kolme kertaa. yksinkertaisin ratkaisu ongelmaan, jos tiedät sääntöjä, lakeja ja aksioomat todennäköisyysteoriaa.

Ennen kuin näet ratkaisun, yritä ratkaista omin avuin. Tiedämme, että tämä luku voi olla nollasta yhdeksään, yhteensä kymmenen arvoa. Todennäköisyys pisteet tarvitaan on 1/10.

Seuraavaksi täytyy harkita vaihtoehtoja alkuperän tapahtumien oletetaan, että poika arvata oikein ja voitti oikeus, todennäköisyys tällaisiin tapahtumiin on yhtä kuin 1/10. Toinen vaihtoehto: ensimmäisen puhelun lipsahdus, ja toinen tavoite. Laskemme todennäköisyys tällaisten tapahtumien: 9/10 kerrottuna 1/9 lopulta saamme kuin 1/10. Kolmas vaihtoehto: ensimmäisen ja toisen puhelun osoittautui väärään osoitteeseen, vasta kolmas poika oli missä hän halusi. Laskea todennäköisyys tällaisten tapahtumien: 9/10 kerrottuna 8/9 ja 1/8, saadaan tuloksena 1/10. Muita vaihtoehtoja kunnosta ongelmaa emme ole kiinnostuneita, tämä jää meille vahvistaa nämä tulokset, lopulta meillä on 3/10. Vastaus: Todennäköisyys, että poika edellyttäisi korkeintaan kolme kertaa, 0,3.

Kortit numeroilla

Ennen kuin yhdeksän korttia, joista jokainen on kirjoittanut useita yhdestä yhdeksään, numerot eivät toistu. He panivat laatikkoon ja sekoitetaan huolellisesti. Sinun täytyy laskea todennäköisyys, että

• rullattu parillinen määrä;
• kaksinumeroinen.

Ennen siirtymistä päätöksen määrätä, että m - on useita onnistuneita tapauksia, ja n - on yhteensä useita vaihtoehtoja. Löytäkäämme todennäköisyys, että määrä on vieläkin. Ei ole vaikea laskea, että parilliset luvut neljä, ja se on meidän m, kaikki yhdeksän mahdollista vaihtoehtoa, eli m = 9. Niin todennäköisyys on yhtä suuri kuin 0,44 tai 4/9.

Pidämme Toisessa tapauksessa määrä variantteja yhdeksän, ja onnistunut lopputulos ei voi olla ollenkaan, eli m on nolla. Todennäköisyys, että pitkänomainen kortti sisältää kaksinumeroinen luku, kuten nolla.