Boolen algebran. algebran logiikan. Elements matemaattisen logiikan

Nykymaailmassa olemme yhä käyttäen erilaisia koneita ja laitteita. Eikä vain silloin, kun se on tarpeen soveltaa kirjaimellisesti inhimilliset voimat: siirrä kuormaa nostaa sen korkeuteen, kaivaa pitkä ja syvä kaivanto jne Autot tänään kerätä robotteja, ruoka kypsennetään Multivarki ja alkeis laskutoimituksia tuottaa laskimet ... Yhä useammin kuulemme lause "Boolen algebran". Ehkä on tullut aika ymmärtää rooli ihmisten luomisessa robottien ja koneiden kykyä ratkaista paitsi matemaattisia, mutta myös loogisia ongelmia.

logiikka

Kreikkalaisessa logiikka - järjestyneen järjestelmä ajatuksen, joka luo suhdetta annetuissa olosuhteissa ja voit tehdä johtopäätöksiä perustuvat oletuksiin ja arvioihin. Varsin usein, pyydämme toisiamme: "On loogista" Vastauksessa vahvistaa olettamuksista tai arvostelee ajatuskulkua. Mutta prosessi ei pääty tähän: jatkamme puhua.

Joskus useita ehtoja (tulo) on niin suuri, ja niiden väliset suhteet on niin sekava ja monimutkainen, että ihmisen aivot ei pysty "sulattaa" kaikki kerralla. Saatat tarvita enemmän kuin yksi kuukausi (viikko, vuosi) käsitys siitä, mitä on tapahtumassa. Mutta nykyajan elämä ei anna meille nämä aikavälein tehdä päätöksiä. Ja me turvautua tietokoneiden avulla. Ja se on täällä, että on algebran ja logiikan, sen lakien ja ominaisuuksia. Lataamisen jälkeen kaikki alkuperäiset tiedot, annamme tietokone tunnistaa kaikki suhteet, jotta vältetään ristiriitaisuudet ja löytää tyydyttävä ratkaisu.

Matematiikka ja logiikka

Kuuluisa Gotfrid Vilgelm Leybnits muotoiltu käsite "matemaattista logiikkaa", mitä tehtäviä oli helppo ymmärtää vain pieni ympyrä oppineita. Erityisen kiinnostavaa on se suunta ei aiheuttanut, ja keskellä XIX vuosisadan matemaattisen logiikan tiedossa muutamia.

Suurta mielenkiintoa tiedeyhteisön on aiheuttanut kiistan, jossa englantilainen Dzhordzh Bul ilmoittanut aikovansa perustaa sivuliikkeen matematiikan, joilla ei ole mitään käytännön hyötyä. Kuten tiedämme historiasta, tällä hetkellä aktiivisesti kehittää teollista tuotantoa, olemme kehittäneet kaikenlaisia ylimääräisiä koneita, t. E. Kaikki tieteelliset havainnot on ollut käytännönläheisyyttä.

Tulevaisuudessa voimme sanoa, että Boolen algebran - eniten käytetty maailmassa nykyisin osa matematiikkaa. Joten väite Buhl menetetty.

Dzhordzh Bul

Persoonallisuutta kirjailija ansaitsee erityistä huomiota. Vaikka otetaan huomioon, että aikaisemmin ihmiset kasvoi edessämme, vielä on huomattava, että 16 vuotta John. Buhl opettanut kyläkoulun ja 20 vuotta avasi oman koulun Lincoln. Matemaatikko täydellisesti masteroitu viisi vieraita kieliä, ja hänen vapaa-ajallaan, luki teosten Newton ja Lagrange. Ja kaikki tämä - tavallisella työntekijän poika!

Vuonna 1839, Buhl lähetti hänen ensimmäinen tieteellistä artikkelia Cambridge Mathematical lehdessä. Tutkija kääntyi 24 vuotta. Boole työ on niin kiinnostunut jäsenet Royal Societyn vuonna 1844 hän sai mitalin hänen panoksestaan kehittämiseen matemaattinen analyysi. Muutama julkaisua, jossa elementit matemaattinen logiikka, matematiikka sallittu nuoret ottamaan professorin virkaan College Corkin County kuvattiin. Muistuttaa, että aivan Boole koulutus ei ollut.

ajatus

Periaatteessa Boolen algebran on hyvin yksinkertainen. On lausunnot (looginen ilmaisuja) että vuodesta näkökulmasta matematiikan, voidaan määritellä vain kahteen sanaan: "true" tai "false". Esimerkiksi puut kevätkukinta - totuus, kesällä sataa lunta - valhe. Kauneus matematiikka on, että se ei ole välttämätöntä käyttää vain numeroita. Sillä algebran tuomiot oikein sovi mitään lausuntoja ainutlaatuinen merkitys.

Siten, algebran logiikkaa voidaan käyttää kirjaimellisesti kaikkialla: aikataulutus ja kirjoittaminen opetus, analyysi ristiriitaisia tietoja tapahtumista ja sekvenssin määrittäminen toimia. Tärkeintä - ymmärtää, että sillä ei ole väliä, miten päätämme totuus tai valheellisuus lausuntoja. Näistä "miten" ja "miksi" sinun täytyy ohittaa. Merkitystä on vain tosiasia: totuus on valhe.

Tietenkin, ohjelmointi tärkeimpiä toimintoja algebran logiikan, joka on tallennettu asianmukaiset merkkejä ja symboleja. Ja oppia niistä - se merkitsee oppia uuden kielen. Mikään ei ole mahdotonta.

Peruskäsitteet ja määritelmät

Menemättä syvyys, käsittelemme terminologiaa. Joten, Boolen algebran edellyttää:

• lausumat;
• loogisia operaatioita;
• toiminnot ja lait.

Lausunnot - millään myöntävästi lauseke, joka voidaan tulkita kahden arvostetaan. Ne on kirjoitettu numerot (5> 3) tai formuloida tuttuja sanoja (elefantti - suurin nisäkäs). Tässä tapauksessa ilmaisu "kirahvi niska ei ole" on myös oikeus olla olemassa, vain Boolen algebran määritellä se "valhe."

Kaikki lausunnot tulee olla yksiselitteinen, mutta ne voivat olla perus- tai yhdistettä. Viimeaikaiset käyttö looginen nippu. E. algebran lausunnot asioissa yhdiste on muodostettu lisäämällä elementary loogisia operaatioita.

Boolen algebran toimintaa

Olemme jo muistaa, että toiminta algebran tuomiot - looginen. Aivan kuten algebran numeroita laskentaoperaatioista lisätä, vähentää tai vertailla numeroita, matemaattista logiikkaa elementtejä mahdollistavat sen asettamisen monimutkaisia lausuntoja, kieltää tai laskea lopputulokseen.

Loogista operaatiota varten vakiinnuttaminen ja yksinkertaisuus esittää kaava, tuttu meille aritmeettinen. Ominaisuudet Boolen algebran yhtälöt mahdollistavat tallentaa ja laskea tuntematon. Loogisia operaatioita yleensä kirjannut totuustaulu. Sen elementit määrittelevät pylväät ja tietotekniikka toimintaa, joka suoritetaan niitä, ja rivit osoittavat tulos laskelmat.

Perusperiaatteena toiminnan

Yleisin Boolen algebran toiminta on negaation (EI), ja looginen AND ja OR. Joten on mahdollista kuvata käytännössä kaikki vaiheet algebran tuomioissa. Tutkimme yksityiskohtaisesti kunkin kolmen toiminnan.

Negaatio (ei) levitetään vain yksi elementti (operandin). Sen vuoksi toimenpide kutsutaan yksipaikkainen negaatio. Äänittää käsitettä "ei" käyttämällä sellaisia symboleja: ¬A, A tai A !. Taulukon muodossa näyttää tältä:

Toiminta kieltäminen tyypillinen tällainen ilmoitus: jos A on tosi, niin A - on väärä. Esimerkiksi kuu pyörii maapallon - totuus; Maan pyörii kuun - valhe.

Looginen kerto- ja

Looginen JA-operaatio kutsutaan yhdessä. Mitä se tarkoittaa? Ensinnäkin se voidaan soveltaa kahta operandia eli I - .. Binary toimintaa. Toiseksi, se on vain siinä tapauksessa, että totuus sekä operandien (sekä A ja B) on tosi, ja ilmaisu itse. Sananlasku, "Kärsivällisyys ja hieman vaivaa" tarkoittaa sitä, että vain kaksi tekijää voi auttaa henkilöä selviytymään vaikeuksista.

symboleja käytetään tallennukseen: A∧B, A⋅B tai A && B.

Yhdessä on samanlainen kertolaskua aritmeettinen. Joskus ja sanoa - loogisen laskun. Jos moninkertaistaa elementit taulukon rivien, saamme tuloksen samanlainen loogista ajattelua.

Ulkopuolelle on looginen TAI-operaatio. Se on TOSI, jos ainakin yksi mainituista ehdoista pätee (joko A tai B). Se on kirjoitettu näin: A∨B, A + B tai A || B. totuustaulu näissä operaatioissa ovat:

Ulkopuolelle samanlainen aritmeettinen lisäksi. looginen lisäksi toiminta on vain yksi rajoitus: 1 + 1 = 1. Mutta muistamme, että digitaalisessa muodossa rajoittuu matemaattinen logiikka 0 ja 1 (jossa 1 - totuus, 0 - epätosi). Esimerkiksi ilmoitus "museossa näet mestariteos tai löytää hyvä yritys" tarkoittaa mitä näet taideteoksia, ja on mahdollista tavata mielenkiintoinen henkilö. Samaan aikaan, eivät sulje pois mahdollisuutta täytetään samanaikaisesti molemmissa tapahtumissa.

Toiminnot ja lait

Joten, tiedämme jo, mitä loogisen operaation Boolen algebran. Toiminnot kuvaamaan kaikkia ominaisuuksia elementtejä matemaattinen logiikka, ja voimme yksinkertaistaa monimutkaisia yhdiste lausuntoja. Kaikkein selkeitä ja yksinkertaisia näyttää hylkääminen omaisuutta johdannaisoperaatioista. Johdannaisilla ymmärretään XOR, vaikutuksia ja vastaavuuden. Kuten olemme lukea vain perustoiminnot, ja sitten omaisuus on myös vain pitävät niitä.

Assosiatiivisuus tarkoittaa, että lausunnot kuten "sekä A että B, ja B 'sekvenssiluettelossa operandeista ei ole väliä. Kaava kirjoitetaan seuraavasti:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kuten näette, tämä ei ole ainutlaatuinen yhdessä vaan disjunktio.

Commutativity väittää, että tulos yhdessä tai eroavaisuuden ei riipu mikä kohde pidettiin alussa:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity avulla paljastaa suluissa monimutkaisia loogisia lausekkeita. Säännöt ovat samankaltaisia aukon suluissa olevaa kerto- ja algebran:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Yksikkö ominaisuudet ja alusta, joka voi olla yksi operandit ovat myös samanlaisia kuin algebrallinen kertomista nolla tai yksi, ja lisäksi yksikön:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotenssi kertoo, että jos suhteellisen kahtena yhtä suurena operandia tulos toiminta on sama, voi "heittää" ylimääräinen mutkistaa päättelyä operandit. Ja yhdessä ja eroavaisuuden operaatiot ovat idempotentti.

B∧B = B; B∨B = B.

Hankinnan avulla voimme yksinkertaistaa yhtälöä. Imeytyminen todetaan, että kun ilmentyminen on sovellettu yhteen operandin, toinen kanssa samana elementtinä tuloksen operandi on vaimentava toiminta.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

Operaatioiden järjestys

Operaatioiden sarja on suuri merkitys. Itse asiassa, kuten algebran, on ensisijainen funktio, joka käyttää Boolen algebran. Kaavat voidaan yksinkertaistaa vain sillä edellytyksellä merkitystä toiminnan. Sijoitusta merkittävin on vähäinen, saadaan seuraava sekvenssi:

1. Kieltäminen.

2. Konjunktio.

3. disjunktiota, XOR.

4. epäsuorasti, vastaavuus.

Kuten näette, vain negaation yhdessä ja ei ole sama prioriteetti. Prioriteetti Ulkopuolelle ja XOR ovat yhtä suuret, sekä prioriteetit vaikutuksia ja vastaavuuden.

Toiminnot vaikutuksia ja vastaavuuden

Kuten olemme todenneet, lisäksi perus loogiset operaatiot, matemaattinen logiikka ja teorian algoritmien johdannaisia. Se on useimmiten vaikutuksia ja vastaavuutta.

Seuraus tai looginen seuraus - tämän julkilausuman, jossa yksi toiminto on kunnossa, ja toinen - tulos sen täytäntöönpanoa. Toisin sanoen, tämän ehdotuksen varjolla "jos ... niin". "Illallisen jälkeen tulee tilinteon." E. ajo on kiristetty pulkkamäki. Jos ei ole halu liikkua alas vuorelta, ja vedä kelkka ei ole välttämätöntä. On kirjoitettu niin: A → B tai A⇒B.

Vastaavuuden merkitsee, että nettovaikutus tapahtuu vain, kun molemmat operandit ovat tosia. Esimerkiksi yön väistyy päivä sitten (ja vasta sitten), kun aurinko nousee horisontin yläpuolelle. Kielellä matemaattisen logiikan tämä lausunto on kirjoitettu A≡B, A⇔B A == B

Muiden lakien Boolen algebran

Algebran tuomion kehittyy, ja monet kiinnostuneet tutkijat muotoilemaan uusia lakeja. Tunnetuin pidetään postuloi Scottish matemaatikko O. De Morgan. Hän huomasi ja esittänyt määritelmän ominaisuuksiltaan sellainen läheinen negaatio, lisäksi ja kaksinkertainen negatiivinen.

Close kieltäminen ehdottaa, että ennen sulkuja ei kiellä: ei (A tai B) = ei A tai B EI

Kun operandi evätään, riippumatta sen arvosta, sanovat lisäksi:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ja lopuksi, kaksinkertainen negaatio itse kompensoi. eli ennen kuin kumpikaan operandin negaatio katoaa tai jää vain yksi.

Miten ratkaista testit

Logiikka merkitsee yksinkertaistaminen ennalta yhtälöt. Aivan kuten Lie algebran, on tarpeen maksimaalisesti helpottaa ensimmäinen edellytys (päästä eroon monimutkainen syöttötoimenpiteet, ja niiden kanssa), sitten alkaa etsiä oikean vastauksen.

Mitä tehdä yksinkertaistaa? Muuntaa kaikki johdannaiset yksinkertainen toimenpide. Sitten paljastaa kaikki kannattimet (tai päinvastoin, jotta suluissa vähentää tätä elementtiä). Seuraava vaihe olisi käyttää Boolen algebran ominaisuudet käytännössä (absorptio-ominaisuuksien nolla ja yksi, ja t.).

Lopulta, yhtälö tulisi koostua vähintään tuntemattomien määrä, yhdistettynä yksinkertaisiin toimintoihin. Helpoin tapa etsiä ratkaisua, jos teet useita lähellä negatiivisia. Niin vastaus tulee esiin kuin itsestään.