Epämääräinen integraali. Määrittelemätön integraalien laskeminen

Yksi matemaattisen analyysin perusosista on kiinteä laskenta. Se kattaa esineiden laajimman kentän, jossa ensimmäinen on määrittelemätön integraali. Sijoittaminen on kuin avain, että jopa lukiossa paljastuu kasvava määrä mahdollisuuksia ja mahdollisuuksia, joita kuvaa korkeamman matematiikan.

ulkomuoto

Ensisilmäyksellä kokonaisuus näyttää täysin modernilta, asiaankuuluvalta, mutta käytännössä käy ilmi, että se ilmestyi 1800-luvun eKr. Kotimaa katsottiin virallisesti Egyptiin, koska emme saaneet aiempia todisteita sen olemassaolosta. Hänen tietojen puutteen vuoksi kaikki tämä aika on aivan ilmiö. Hän vahvisti jälleen tieteen kehityksen tason näiden aikojen kansojen keskuudessa. Lopulta löydettiin muinaisten kreikkalaisten matemaatikkojen teoksia, jotka juontuvat 4. vuosisadalla eKr. He kuvasivat menetelmää, jossa sovellettiin epämääräistä integraalia, jonka ydin oli löytää kavolaisen kuvion määrä tai alue (kolmiulotteiset ja kaksiulotteiset tasot). Laskentaperiaate perustui alkuperäisen kuvion jakamiseen infinitesimaalisiin komponentteihin edellyttäen, että niiden tilavuus (pinta-ala) on jo tiedossa. Ajan myötä menetelmä kasvoi, Archimedes käytti sitä löytämään parabolan alueen. Analogiset laskelmat samanaikaisesti tekivät tutkijat muinaisessa Kiinassa, lisäksi he olivat täysin riippumattomia Kreikan veljeksistä tiede.

kehitys

Seuraava läpimurto 1100-luvulla AD oli Arabian "universaali" Abu Ali al-Basri, joka laajensi aiemmin tunnetun rajan, tekemällä integraalin pohjalta laskentakaavat sarjan ja voimavarojen summien laskemisesta ensimmäisestä neljään, Matemaattisen induktion menetelmä.
Modernit miehet ihailevat sitä, kuinka muinaiset egyptiläiset loivat arkkitehtonisia monumentteja, ilman mitään erityisiä mukautuksia, paitsi ehkä omia käsiään, mutta ei ole tuon ajan tutkijoiden mielen voima. Nykyhetkiin nähden heidän elämänsä tuntuu lähes alkukantaiselta, mutta määrittelemätön integraalien ratkaisu syntyi kaikkialla ja käytettiin käytännössä jatkokehittämiseen.

Seuraava askel tapahtui 1600-luvulla, jolloin italialainen matemaatikko Cavalieri päätti jakamattoman menetelmän, jonka Pierre Fermat keräsi . Nämä kaksi henkilöä loivat perustan modernille integraalille, joka tunnetaan tällä hetkellä. Ne liittävät eriytymisen ja integraation käsitteet, joita aiemmin pidettiin itsenäisinä yksikköinä. Yleensä näiden aikojen matematiikka oli pirstoutunut, päätelmien hiukkaset olivat itsessään ja niillä oli rajallinen soveltamisala. Yhdistämispolku ja yhteisten kenttien etsiminen oli ainoa oikea tuolloin, kiitos hänestä nykyaikainen matemaattinen analyysi pystyi kasvamaan ja kehittämään.

Ajan kuluttua kaikki muuttui ja myös integraalin nimeäminen. Yleensä tiedemiehet merkitsivät sitä, että esimerkiksi Newton käytti neliön kuvaketta, jossa hän asetti integroitavan tehtävän tai yksinkertaisesti laittaa sen vieressä. Tämä erimielisyys jatkui 1700-luvulle asti, kun ikonillinen tutkija Gottfried Leibniz esitteli meille niin tunnetun symbolin koko matemaattisen analyysin teorian. Venytetty "S" perustuu todellakin latinalaiseen kirjaimeen, koska se merkitsee antipodien summaa. Nimi oli Jacob Bernoulliin kiinteäksi 15 vuotta.

Virallinen määritelmä

Epämääräinen integraali riippuu suoraan antiderivaattorin määritelmästä, joten pidä sitä ensin.

Alkukanta on funktio, joka on käänteinen johdannaiselle, käytännössä sitä kutsutaan myös primitiiviseksi. Muuten: funktion d antiderivatiivinen on funktio D, jonka johdannainen on v <=> V '= v. Antiderivaattorin etsiminen on määrittelemätön integraalin laskenta, ja itse prosessia kutsutaan integraatioksi.

esimerkiksi:

Toiminto s (y) = y ³ ja sen antiderivatiivinen S (y) = (y 4/4).

Kyseisen funktion kaikkien antiderivaivisten joukko on epämääräinen integraali, ja se merkitään seuraavasti: ∫v (x) dx.

Koska V (x) on vain alkupe- räinen alkuperäisestä funktiosta, on lauseke: ∫v (x) dx = V (x) + C, jossa C on vakio. Jokainen vakio pidetään mielivaltaisena vakiona, koska sen johdannainen on nolla.

ominaisuudet

Ominaisuuksiltaan määrittelemättömän integraalin ominaisuudet perustuvat johdannaisten perusmääritykseen ja ominaisuuksiin.
Harkitse keskeisiä kohtia:

• Antiderivatiivin integraali on itsessään antiderivatiivinen plus mielivaltainen vakio C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• Toiminnon integraalin johdannainen on alkufunktio <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• Vakio otetaan integraalin <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx merkistä, jossa k on mielivaltainen;
• Summasta otettu integraali on identtisesti yhtä suuri kuin integraalien summa <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Kahden viimeisen ominaisuuden perusteella voidaan päätellä, että määrittelemätön integraali on lineaarinen. Tästä johtuen meillä on: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Kiinnittämistä varten pohdimme esimerkkejä määrittelemättömistä integraaleista.

On löydettävä integraali ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Esimerkistä voidaan päätellä: en tiedä kuinka ratkaista epämääräiset integraalit? Löydä kaikki antitypical! Ja tässä ovat hakujen periaatteet alla.

Menetelmät ja esimerkit

Integraalin ratkaisemiseksi voimme turvautua seuraaviin menetelmiin:

• Käytä valmiita pöytiä;
• Integroitu osittain;
• Integroida muuttujan muuttuessa;
• Summaus eron merkin alla.

taulukot

Helpoin ja nautinnollisin tapa. Tällä hetkellä matemaattinen analyysi voi ylpeillä melko laajoista taulukoista, joissa määritellään epämääräisten integraalien peruskaavat. Toisin sanoen, on mallien, jotka on johdettu ennen sinua ja sinua, on vain käyttää niitä. Seuraavassa on luettelo tärkeimmistä taulukon asennoista, joihin lähes kaikki esimerkit, joilla on ratkaisu, voidaan johtaa:

• ∫0dy = C, jossa C on vakio;
• ∫dy = y + C, jossa C on vakio;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1} ) / (n + 1) + C, jossa C on vakio ja n on muu kuin nollanumero;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, jossa C on vakio;
• ∫e ^y dy = e ^y + C, missä C on vakio;
• ∫ k ^y dy = (k ^y / ln k) + C, jossa C on vakio;
• ∫cosydy = siny + C, jossa C on vakio;
• ∫sinydy = -cocy + C, jossa C on vakio;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, jossa C on vakio;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, jossa C on vakio;
• ∫dy / (1 + y ² ) = arctgy + C, jossa C on vakio;
• ∫chydy = ujo + C, jossa C on vakio;
• ∫shydy = chy + C, jossa C on vakio.

Tarvittaessa vie muutaman askeleen, tuoda integandin pöydänäkymään ja voittaa voiton. Esimerkki: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5tocos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.

Päätöksellä on selvää, että taulukon esimerkissä integrandilla ei ole 5: n kertointa. Lisätään se kerrottuna 1/5 rinnakkain siten, että yleinen ilmentymä ei muutu.

Osien integrointi

Harkitse kahta funktiota - z (y) ja x (y). Niiden on oltava jatkuvasti differentiable koko määritelmän alalla. Jollakin erilaistumisominaisuuksistamme meillä on: d (xz) = xdz + zdx. Tasapainon molempien puolien integroiminen saadaan: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Tuloksena olevan yhtälön uudelleenkirjoittaessa saadaan kaava, joka kuvaa yhdentymisen menetelmää osilla: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Miksi sitä tarvitaan? Tosiasia on, että eräillä esimerkeillä on mahdollisuus yksinkertaistaa, suhteellisesti, vähentää ∫zdx: ∫xdz, jos jälkimmäinen on lähellä taulukkomuotoa. Tätä kaavaa voidaan soveltaa myös useammin kuin kerran, jolloin saavutetaan optimaalinen tulos.

Miten ratkaista epämääräiset integraalit tällä tavoin:

• On tarpeen laskea ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + 1) e ^2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e ^2s , dy = e ^2x ds} = ((s + 1) e ^2s ) / 2-1 / ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s ) / 2-e ^2s / 4 + C;

• Sinun on laskettava ∫lnsds

∫s = dns / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Muuttujan vaihto

Tämä periaate ratkaista epämääräisiä integraleja ei ole vähemmän kysyntää kuin edellisillä kahdella, vaikka se on monimutkaisempi. Menetelmä koostuu seuraavasta: anna V (x) olla osa jotain funktiota v (x). Jos esimerkissä oleva integraali on monimutkainen, on hyvät mahdollisuudet saada sekaisin ja mennä väärällä tavalla. Tämän välttämiseksi toteutetaan siirtyminen muuttujasta x-z, jossa yleinen ilmentymä on visuaalisesti yksinkertaistettu, kun Z: n riippuvuus x: een säilyy.

Matemaattisella kielellä näyttää tältä: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y ^-1 (x) Z) on permutaatio. Ja luonnollisesti käänteinen funktio z = y ^-1 (x) kuvaa täysin muuttujien riippuvuutta ja keskinäistä suhdetta. Tärkeä havainto on, että differentiaali dx korvataan välttämättömällä uudella differentiaalisella dz: llä, koska muuttujan korvaaminen epämääräisellä integraalilla merkitsee sen korvaamista kaikkialla eikä ainoastaan integrandissa.

esimerkiksi:

• On löydettävä ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Sovelletaan korvausta z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Sitten dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Tämän seurauksena saamme seuraavan lausekkeen, jota on helppo laskea:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• On tarpeen löytää kiinteä ∫2 ^s e ^s dx

Ratkaisua varten kirjoitamme lausekkeen seuraavassa muodossa:

∫2 ^s e ^s ds = ∫ (2e) ^s ds.

Merkitään a = 2e: lla (korvaamalla argumentti, jota tämä vaihe ei ole, se on edelleen s), annamme meidän ensisilmäyksellä kompleksisen integraalin alkeellisen taulukkomuodon:

(2e) ^s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (Ln2 + 1) + C.

Piirustus differentiaalierän alla

Yleensä tämä määrittelemätön integraalimenetelmä on muuttuvan korvausperiaatteen kaksoisveli, mutta suunnitteluprosessissa on eroja. Tarkastellaan tarkemmin.

Jos ∫v (x) dx = V (x) + C ja y = z (x), niin ∫v (y) dy = V (y) + C.

Samanaikaisesti ei pidä unohtaa triviaaleja kokonaisvaltaisia muutoksia, joista:

• Dx = d (x + a), missä a on jokin vakio;
• Dx = (1 / a) d (ax + b), missä a on jälleen vakio, mutta ei yhtä kuin nolla;
• Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• Sinxdx = -d (cosx);
• Cosxdx = d (sinx).

Jos tarkastelemme yleistä tapausta, kun lasketaan epämääräinen integraali, esimerkit voidaan pienentää yleiseen kaavaan w '(x) dx = dw (x).

esimerkkejä:

• On tarpeen löytää ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) X (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online-ohje

Joissakin tapauksissa syyllisyys, joka voi olla joko laiskuutta tai kiireellistä tarvetta, voit käyttää online-vinkkejä tai pikemminkin käyttää epävarmojen integraalien laskinta. Kaikista integraalien ilmeisestä monimutkaisuudesta ja kiistasta huolimatta niiden ratkaisuun sovelletaan tiettyä algoritmia, joka perustuu periaatteeseen "jos ei ..., silloin ...".

Tietenkin erityisesti monimutkaisia esimerkkejä tällaisesta laskimesta ei voida hallita, koska on olemassa tapauksia, joissa ratkaisu on löydettävä keinotekoisesti, "pakottavasti" tuomalla tiettyjä elementtejä prosessiin, koska ilmeisiä tuloksia ei voida saavuttaa. Kaikesta tämän lausunnon kiistasta huolimatta on totta, koska matematiikka periaatteessa on abstrakti tiede ja pitää ensisijaisena tehtävänä laajentaa mahdollisuuksien rajoja. Itse asiassa on äärimmäisen vaikeaa nousta ylös ja kehittyä sujuvasti ajetuissa teorioissa, joten älä ota oletta, että esimerkkejä ratkaisemattomista integraaleista, jotka annoimme, ovat mahdollisuuksien kärjessä. Palatkaamme kuitenkin asian tekniseen puoleen. Ainakin tarkista laskutoimitukset voit käyttää palveluja, joissa kaikki on kirjoitettu ennen meitä. Jos tarvitaan monimutkaisen lausekkeen automaattista laskemista, niitä ei voida luopua, sinun on turvauduttava vakavampiin ohjelmistoihin. On syytä kiinnittää huomiota ennen kaikkea MatLab-ympäristöön.

hakemus

Epäpätevien integraalien ratkaisu ensi silmäyksellä tuntuu täysin eroon todellisuudesta, koska on ilmeistä sovellustasoa vaikea nähdä. Itse asiassa niitä ei voida käyttää suoraan missään, mutta niitä pidetään välttämättömin välinaiheina käytännön käytännön päätösten tekemisessä. Siten integraatio on käänteisesti eriytetty, minkä vuoksi se osallistuu aktiivisesti yhtälöiden ratkaisemisprosessiin.
Nämä yhtälöt puolestaan vaikuttavat suoraan mekaanisten ongelmien ratkaisuun, reittien laskentaan ja lämmönjohtavuuteen - lyhyesti sanottuna kaikki mikä muodostaa nykyisen ja muodostaa tulevaisuuden. Epämääräinen integraali, jonka esimerkit ymmärsimme edellä, on vähäpätöinen vain ensisilmäyksellä, sillä se on perusta yhä enemmän uusia löytöjä varten.