Kulman sini-johdin on sama kuin saman kulman kosini

Koska yksinkertaisin trigonometrinen funktio y = Sin (x), se on differentiable jokaisella pisteellään koko määritelmän domainista. On tarpeen todistaa, että minkä tahansa argumentin sini-johdannainen on sama kuin saman kulman kosini, eli y '= Cos (x).

Todistus perustuu funktion johdannaisen määrittelyyn

Määritämme x (mielivaltainen) tietyllä pisteellä x0 pienellä alueella Δx. Antakaamme funktion arvon siinä ja pisteessä x löytääksesi tietyn funktion lisäyksen. Jos Δx on argumentin lisäys, uusi argumentti on x ₀ + Δx = x, tämän funktiokohdan arvo argumentin y (x) tietylle arvolle on Sin (x ₀ + Δx), funktion arvo tietyllä pisteellä y (x ₀ ) .

Nyt meillä on Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) on saavutetun funktion lisäys.

Kahden epätasaisen kulman summan sine-kaavalla muutetaan ero Δy.

(X0) + Cos (x ₀ ) = Cos (Δx) + Cos (x0) · Sin (Δx) miinus Sin (x ₀ ) · Sin (Δx).

Tehti ehtojen permutaatiota, ryhmitteli ensimmäisen kolmanteen Sin (x ₀ ), jolla oli tavallinen kerroin - sini - suluille. Saimme lausekkeessä eron Cos (Δx) -1. Jäljellä on vielä merkin muutos kiinnikkeen edessä ja sulkeissa. Tietämällä, mikä on 1-Cos (Δx), tehdään korvaus ja saadaan yksinkertaistettu lauseke Δy, jonka jälkeen jaamme Δx: llä.
Δy / Δx on muotoa: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0,5 · Δx) · Sin (x ₀ ) / Δx. Tämä on funktion lisäyksen suhde sallitun argumentoinnin kasvuun.

Jäljellä on vielä löytää Δx: n aikaansaama suhde lim, joka pyrkii nollaan.

Tiedetään, että raja Sin (Δx) / Δx on 1, tässä ehtona. Ilmaisu 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx tuloksena olevana osamääränä vähennetään tuotteeksi, joka sisältää ensimmäisen merkittävän rajan kertojana: jakaa murto-osan numeraattori ja nimittäjä 2: llä, korvaa sinisen tuotteen neliö tuotteittain. Täällä niin:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Tämän lausekkeen raja Δx: lle, joka pyrkii nollaan, on yhtä kuin nolla (1 kerrottuna 0: llä). Osoitetaan, että suhde Δy / Δx on Cos (x ₀ ) · 1-0, tämä on Cos (x ₀ ), ilmentymä, joka ei riipu Δx: stä, joka johtaa 0: een. Tämä johtaa siihen johtopäätökseen, että minkä tahansa kulman x Cosine x, kirjoitamme y '= Cos (x).

Tuloksena oleva kaava syötetään tunnetun johdannaiskaavion, jossa kaikki alkeelliset funktiot

Ongelman ratkaisemisessa, jossa sinusin johdannainen tapahtuu, voidaan käyttää eriyttämissääntöjä ja valmiita kaavoja taulukosta. Esimerkiksi: löytää yksinkertaisen funktion johdannainen y = 3 · Sin (x) -15. Käytämme elementaarisia sääntöjä erilaistumisesta, numeerisen faktorin poistamisesta johdannaisen merkin taakse ja jatkuvan luvun johdannaisen laskemisesta (se on nolla). Sovellamme kulman x, joka on yhtä suuri kuin Cos (x), sinisen johdannaisen taulukoitu arvo. Saat vastauksen: y '= 3 · Cos (x) -O. Tämä johdannainen puolestaan on myös alkufunktio y = 3 · Cos (x).

Synnyn johdannainen on neliömäinen mistä tahansa argumentista

Laskettaessa tätä ilmaisua (Sin ² (x)) ', on tarpeen muistaa, kuinka monimutkainen funktio on eriytetty. Joten, y = sin ² (x) - on tehofunktio, koska sini on neliöity. Sen argumentti on myös trigonometrinen funktio, Monimutkainen argumentti. Tulos tässä tapauksessa on sama kuin tuote, jonka ensimmäinen tekijä on annetun kompleksin argumentin neliön johdannainen ja toinen on sinin johdannainen. Näin funktion funktion erottamista koskeva sääntö näyttää: (u (v (x))) 'on yhtä kuin (u (v (x)))' (v (x)) '. Ilmaisu v (x) on monimutkainen argumentti (sisäinen funktio). Jos funktio "igrok on yhtä suuri kuin neliö x: n sinia", niin tämän monimutkaisen funktion johdannainen on y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Tuotteessa ensimmäinen kaksinkertainen kerroin on tunnetun tehofunktion johdannainen, ja Cos (x) on siniaineen johdannainen, kompleksisen neliöllisen funktion argumentti. Lopputulos voidaan muuntaa käyttämällä kaksoiskulman trigonometristä sini-kaavaa. Vastaus: johdannainen on Sin (2 x). Tätä kaavaa muistetaan helposti, sitä käytetään usein taulukkona.