Perustaa matemaattinen analyysi. Miten löytää johdannainen?

Johdannainen funktio f (x) tietyssä kohdassa x0 toiminto nimeltään kasvun suhde rajan lisäys argumentin, edellyttäen, että x on 0, ja raja on olemassa. Johdannainen yleisesti viitenumerolla aivohalvaus, joskus kautta kohta kautta tai ero. Usein derivaatta rajat ylittävien harhaanjohtavia tuloksia, sillä tällainen esitys on harvoin käytetty.

Toiminto, joka on johdannainen tietyssä pisteessä x0, kutsutaan derivoituva sellaisessa kohdassa. Oletetaan, D1 - useita kohtia, joissa funktion f on eriytetty. Osoitetaan kaikille yksi luvuista x, jotka kuuluvat D-f (x), saadaan funktio nimitys alueen D1. Tämä toiminto on johdannainen y = f (x). Merkitään: f (x).

Lisäksi johdannaista käytetään yleisesti fysiikan ja tekniikan. Harkitse yksinkertainen esimerkki. Materiaalin piste liikkuu koordinaatistossa akselilla, kun kysytään, mitä laissa liikkeen, joka on, x-koordinaatti Tässä vaiheessa on tiedossa x (t) funktion. Aikavälin aikana t0 t0 + t on yhtä suuri kuin siirtymä pisteessä x (t0 + t) -x (t0) = x, ja sen keskimääräinen nopeus v (t) on yhtä suuri kuin x / t.

Joskus luonne liikkeen esitellään siten, että keskimääräinen nopeus ei muutu pienillä aikavälein, mikä tarkoittaa, että liikkeen suurempaan tarkkuuteen pidetään yhtenäisiä. Vaihtoehtoisesti arvo keskimääräisen nopeuden jos t0 seuraavasti joitakin aivan tarkkaa arvoa, ja kutsutaan hetkellinen nopeus v (t0), joka piste tietyllä ajanhetkellä t0. Uskotaan, että hetkellinen nopeus v (t) tunnetaan eriytyksen funktio x (t), mitä v (t) on yhtä suuri kuin x '(t). Yksinkertaisesti sanottuna, nopeus - se on johdannainen koordinaatit ajan.

Hetkellinen nopeus on sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, ja arvo on 0. Jos se on tietyllä aikavälillä (t1, t2) on positiivinen, niin kohta liikkuu samaan suuntaan, toisin sanoen, x (t) koordinaatti kasvaa ajan myötä, ja jos v (t) on negatiivinen, niin koordinaatti x (t) pienenee.

Monimutkaisemmissa tapauksissa, piste liikkuu tasossa tai avaruudessa. Sitten nopeus - vektorin määrä, ja määrittää kunkin koordinaatit vektorin v (t).

Samoin voidaan verrata kiihtyvyys pisteen. Nopeus on ajan funktiona, eli v = v (t). Johdannainen tällaisen toiminnon - liikkeen kiihtyvyys a = v '(t). Eli käy ilmi, että aikaderivaatta nopeus on kiihtyvyys.

Oletetaan, y = f (x) - eriytyksen toiminto. Silloin voimme harkita liikkeen pisteen koordinaattiakseli, joka tapahtuu lakia X = f (t). Mekaaninen kunnossapito johdannaisen antaa mahdollisuuden antaa selkeä tulkinta lauseet tasauspyörästön perusteet.

Miten löytää johdannainen? Derivaattaa funktion kutsutaan sen erilaistumista.

Aseta esimerkkejä siitä, miten löytää johdannainen toiminto:

Johdannainen vakiofunktio nolla; johdannainen funktio y = x on yhtä suuri kuin yksi.

Ja miten löytää johdannainen osa? Voit tehdä tämän, ota huomioon seuraavat materiaali:

Mistään x0 <> 0 meillä

y / x = -1 / x0 * (x + x)

On joitakin sääntöjä, miten löytää johdannainen. nimittäin:

Jos A ja B ovat eriytetty kohta x0, niin niiden summa on eriytetty pisteessä: (A + B) = A '+ B'. Yksinkertaisesti sanottuna, johdannainen suuruisen määrän summa johdannaisia. Jos toiminto on eriytetty jossain vaiheessa, niin se on suurennettava nollaan, kun sen jälkeen, kun argumentti nollavahvistus.

Jos A ja B ovat eriytetty kohta x0, niin niiden tuotteiden differentioidaan: (A * B) '= A'B + AB'. (Arvot toiminnot ja niiden johdannaiset lasketaan pisteessä x0). Jos funktio A (x) on eriytetty kohdassa x0, ja C - vakio, niin CA toiminto on eriytetty tässä vaiheessa ja (CA) = CA '. Eli vakiotekijä ulkopuolella tehdyt merkki johdannaisen.

Jos A ja B ovat eriytetty kohta x0, ja toiminto B ei ole yhtä kuin nolla, niin niiden suhde myös differentioidaan: (A / B) = (A'B-AB) / B * B.