Fourier-sarja: matemaattisen mekanismin historia ja vaikutus tieteen kehitykseen

Fourier-sarja on mielivaltaisesti otettu funktion kuvaus sarjassa. Yleensä tätä ratkaisua kutsutaan elementin laajentamiseksi ortogonaalisesti. Fourier-sarjan toimintojen laajentaminen on melko tehokas työkalu erilaisten ongelmien ratkaisemiseen, jotka johtuvat annetun transformaation ominaisuuksista integraatiossa, erilaistumisessa ja myös lausekkeen siirtämisessä argumentille ja konvoluutiolle.

Henkilö, joka ei tunne korkeampaa matematiikkaa ja myös ranskalaisen tiedemies Fourierin teoksia, ei todennäköisesti ymmärrä, millaisia "rivejä" on ja mitä he tarvitsevat. Ja vielä tämä muutos on tullut varsin tiheä elämässämme. Sitä käyttävät paitsi matemaatikot, myös fyysikot, kemistit, lääkärit, tähtitieteilijät, seismologit, merenkulkijat ja monet muut. Perehdy myös tutustumaan suuren ranskalaisen tiedemiehen teoksiin, jotka tekivät löydön aika-ajoista eteenpäin.

Man ja Fourier-muunnos

Fourier-sarja on yksi Fourier-muunnoksen menetelmistä (yhdessä analyysin ja muiden kanssa) . Tämä prosessi tapahtuu joka kerta, kun henkilö kuulee äänen. Korvi muuttaa ääniaallon automaattisesti automaattiseksi tilaksi . Elementtihiukkasten värähtelyliikkeet elastisessa väliaineessa hajotetaan eri korkeuksien äänien äänenvoimakkuuden peräkkäisten arvojen sarjaan (spektrin mukaan). Lisäksi aivot kääntävät nämä tiedot ääniin, jotka ovat meille tuttuja. Kaikki tämä tapahtuu haluomme tai tietoisuutemme lisäksi sinänsä ja itse, mutta näiden prosessien ymmärtämiseksi kestää useita vuosia matematiikan ylempää opiskeluun.

Lisätietoja Fourier-muunnoksesta

Fourier-muunnos voidaan suorittaa analyyttisillä, numeerisilla ja muilla menetelmillä. Fourier-sarjassa viitataan numeeriseen menetel- mään minkä tahansa värähtelevän prosessin hajottamisessa - valtameri- ja valoaallosta aurinkokuntaan (ja muihin tähtitieteellisiin kohteisiin). Käyttämällä näitä matemaattisia tekniikoita voit jäsentää funktioita, jotka edustavat kaikkia värähteleviä prosesseja sarjana sinimuotoisia komponentteja, jotka siirtyvät minimistä maksimiin ja takaisin. Fourier-muunnos on funktio, joka kuvaa tietyn taajuuden mukaisten sinikäyräkohtien vaiheen ja amplitudin. Tätä prosessia voidaan käyttää ratkaisemaan hyvin monimutkaisia yhtälöitä, jotka kuvaavat dynaamisia prosesseja, joita tapahtuu lämpö-, valo- tai sähköenergian vaikutuksesta. Fourier-sarjan avulla voidaan myös eristää vakio-osia monimutkaisissa värähtelysignaaleissa, mikä mahdollistaa lääketieteen, kemian ja tähtitieteen kokeellisten havaintojen oikean tulkinnan.

Historiallinen tausta

Tämän teorian perustajajänä on ranskalainen matemaatikko Jean Baptiste Joseph Fourier. Hänen nimensä kutsui myöhemmin tätä muutosta. Aluksi tutkija käytti menetelmäänsä tutkimaan ja selittämään lämmönjohtavuuden mekanismeja - lämmön etenemistä kiinteissä aineissa. Fourier ehdotti, että termisen aallon alkamaton epäsäännöllinen jakauma voidaan hajota yksinkertaisiin sinusoideihin, joista kullakin on oma minimi- ja maksimilämpötila ja myös sen vaihe. Jokainen tällainen komponentti mitataan pienimmästä maksimiin ja päinvastoin. Matemaattinen funktio, joka kuvaa käyrän ylempää ja alempaa piikkiä sekä kunkin yliaaltojen vaihe, kutsuttiin ilmentymisen Fourier-muunnoksi lämpötilajakaumaksi. Teorian kirjoittaja on vähentänyt yleistä jakautumistoimintaa, jota on vaikea kuvailla matemaattisesti sarjaan määräaikainen kosini- ja sinifunktio, jotka ovat erittäin käteviä käsittelemään alkuperäisen jakelun summana.

Muunnoksen periaate ja aikakausien näkemykset

Nykyajan 1900-luvun alkupuolen matemaatikkojen tutkijat eivät hyväksyneet tätä teoriaa. Tärkein vastaväite oli Fourier-väite, että epäjatkuva funktio, joka kuvaa suoraa tai repäisykäyrää, voidaan esittää sinimuotoisten ilmaisujen summana, jotka ovat jatkuvia. Esimerkiksi voimme harkita "askeleen" Heaviside: sen arvo on nolla vasemmalla epäjatkuvuuden ja yksikön oikealla puolella. Tämä toiminto kuvaa sähkövirran riippuvuutta aikamuuttujasta, kun piiri on suljettu. Teoriaa nykyhetkellä ei koskaan kohdannut samanlaista tilannetta, kun epäjatkuvan ilmentymisen kuvataan jatkuvien, tavallisten funktioiden, kuten eksponentiaalisen, sinimuotoisen, lineaarisen tai kvadratisen, yhdistelmällä.

Mikä hämmentyi ranskalaisia matemaatikkoja Fourierin teoriaan?

Loppujen lopuksi, jos matemaatikko olisi oikeassa lausunnossaan, summaamalla äärettömän trigonometrisen Fourier-sarjan, voidaan saada tarkka esitys askeleesta, vaikka siinä olisi monia tällaisia vaiheita. 1800-luvun alkupuolella tällainen lausunto tuntui järjettömältä. Kaikista epäilyksistä huolimatta monet matemaatikot ovat laajentaneet tämän ilmiön tutkimisen laajuutta ja ottaneet sen pois lämmönjohtavuuden tutkimuksen rajoista. Kuitenkin useimmat tiedemiehet kärsivät edelleen kysymyksestä: "Voiko sinimuotoisen sarjan summa konvergoitua epäjatkuvan funktion tarkkaan arvoon?"

Fourier-sarjan konvergenssi: esimerkki

Lähentymisen kysymys herää joka kerta, kun on tarpeen lisätä lukemattomia numeroita. Jotta voisimme ymmärtää tämän ilmiön, harkitsemme klassista esimerkkiä. Voitteko koskaan päästä seinään, jos jokainen seuraava vaihe on puolet edellisestä? Oletetaan, että olet kahden metrin päässä tavoitteesta, ensimmäinen askel vie sinut puolivälissä, seuraava - kolmen neljänneksen merkki ja viidennen kerran voitat lähes 97 prosenttia matkasta. Kuitenkin kuinka monta vaihetta teet, et saavuta tavoiteltua tavoitetta tiukassa matemaattisessa mielessä. Numeeristen laskelmien avulla voidaan osoittaa, että lopulta on mahdollista lähestyä mielivaltaisesti pieni ennalta määrätty etäisyys. Tämä todiste vastaa osoittamalla, että yhden sekunnin, neljännen jne. Kokonaisarvon taipumus on yhtenäisyys.

Lähentymisen kysymys: toinen tuleminen, tai Herra Kelvinin laite

Toistuvasti tämä kysymys herätettiin 1800-luvun lopulla, kun Fourier-sarjaa yritettiin soveltaa vuoroveden ja vuoroveden voimakkuuden ennustamiseen. Tällä hetkellä Lord Kelvin keksi laitteen, joka on analoginen tietojenkäsittelylaite, joka salli sotilas- ja kauppalaivaston merimiesten seurata tätä luonnollista ilmiötä. Tämä mekanismi määritteli vaiheiden ja amplitudien sarjat vuoroveden korkeustasolta ja vastaavia satamassa varovasti mitattuja aikapisteitä vuoden aikana. Kukin parametri oli vuoroveden korkeuden ilmaisun sinimuotoinen osa ja se oli yksi säännöllisistä komponenteista. Mittausten tulokset syötettiin Kelvin-laskentalaitteeseen, joka syntetisoi käyrän, joka ennusti veden korkeuden väliaikaisena funktioksi ensi vuodeksi. Hyvin pian tällaiset käyrät koottiin kaikille maailman satamista.

Ja jos prosessi rikkoutuu epäjatkuvalla toiminnolla?

Tuolloin tuntui ilmeiseltä, että laite, joka ennustaa hyökkäävän aallon suurella määrällä laskentayksikköä, voisi laskea suuren määrän vaiheita ja amplitudeja ja antaa siten tarkempia ennusteita. Kuitenkin osoittautui, että tätä säännöllisyyttä ei havaita niissä tapauksissa, joissa vuorovesien ilmentyminen, joka olisi syntetisoitu, sisälsi jyrkkä hyppy eli se oli epäjatkuvaa. Siinä tapauksessa, että laite syöttää dataa aikapisteistä, se laskee useita Fourier-kertoimia. Alkuperäinen toiminto palautuu sinimuotoisten komponenttien vuoksi (löytyneiden kertoimien mukaan). Alkuperäisen ja palautetun lausekkeen välinen ero voidaan mitata missä tahansa vaiheessa. Toistuvien laskelmien ja vertailujen suorittamisen aikana on selvää, että suurimman virheen arvoa ei ole pienennetty. Ne kuitenkin ovat paikallisesti epäjatkuvuuden kannalta sopivalla alueella, ja missä tahansa muussa kohdassa ne ovat yleensä nollat. Vuonna 1899 tämä tulos teoriassa vahvisti Yale Universityn Joshua Willard Gibbs.

Fourier-sarjan lähentyminen ja matematiikan kehittäminen yleensä

Fourier-analyysiä ei voida soveltaa ilmaisuihin, joissa tietyn ajanjakson ääretön määrä purskeita. Yleensä Fourier-sarja, jos alkuperäisen toiminnon edustaa todellisen fyysisen ulottuvuuden tulos, aina lähentyä. Kysymykset tämän prosessin lähentymisestä tiettyihin toimintojen ryhmiin johti matemaattisten osien uusien ilmiöiden esiintymiseen, esimerkiksi yleistettyjen toimintojen teoriaan. Se liittyy sellaisiin nimiin kuin L. Schwartz, J. Mikusinsky ja J. Temple. Tämän teorian puitteissa luotiin selkeä ja tarkka teoreettinen kehys sellaisille ilmentymille kuin Dirac delta -funktio (se kuvaa yhden alueen aluetta, joka keskittyy pisteen ääretöntä naapurustossa) ja Heavisiden "askeleen". Tämän työn ansiosta Fourier-sarja soveltui sellaisten yhtälöiden ja ongelmien ratkaisemiseen, joissa näkyvät intuitiiviset käsitteet: pisteiden lataus, pistemassa, magneettiset dipolit ja myös säteen keskittynyt kuormitus.

Fourier-menetelmä

Fourier-sarja alkaa häiriön periaatteiden mukaisesti alkaa monimutkaisten muotojen hajoamisesta yksinkertaisemmiksi. Esimerkiksi lämmön virtauksen muutos johtuu siitä, että se kulkee eri esteiden kautta epäsäännöllisen muodon lämmöneristysmateriaalista tai muuttamalla maanpintaa - maanjäristyksen, taivaankappaleen kiertoradan muutoksen, planeettojen vaikutuksen kautta. Yleensä yksinkertaiset klassiset järjestelmät kuvaavat yhtälöt ratkaistaan pääsääntöisesti jokaiselle yksittäiselle aallolle. Fourier osoitti, että yksinkertaisia ratkaisuja voidaan myös tiivistää monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseksi. Matematiikan kielellä ilmaistuna Fourier-sarja on tekniikka lausekkeen ilmaisemiseksi harmonisten summien - kosinuksen ja sinusoidin summan avulla. Siksi tämä analyysi tunnetaan myös nimellä "harmoninen analyysi".

Fourier-sarja on ihanteellinen tekniikka ennen "tietokoneen ikä"

Ennen tietotekniikan luomista Fourierin menetelmä oli paras ase tutkijoiden arsenalissa, kun työskentelimme maailmamme aallon luonteen kanssa. Monimutkaisessa muodossa oleva Fourier-sarja antaa meille mahdollisuuden ratkaista paitsi yksinkertaisia ongelmia, jotka ovat omiaan vastaamaan Newtonin mekaniikan lakien soveltamiseen, vaan myös perusyhtälöihin. Useimmat 1800-luvun newtoniläisen tieteen löydöt tulivat mahdollisiksi vain Fourier-menetelmän ansiosta.

Fourier-sarjan tänään

Tietokoneiden kehittämisen myötä Fourier-muunnokset ovat nousseet laadullisesti uudelle tasolle. Tämä tekniikka on tiukasti kiinni lähes kaikilla tieteen ja teknologian alueilla. Esimerkki on digitaalinen ääni- ja videosignaali. Sen toteutuminen tuli mahdolliseksi vain ranskan matemaatikon kehittämän teorian ansiosta yhdeksästoista 1800-luvun alussa. Siten Fourier-sarja monimutkaisessa muodossa mahdollisti läpimurron ulkoavaruuden tutkimuksessa. Lisäksi tämä vaikutti puolijohdemateriaalien ja plasman fysiikan, mikroaaltouunien akustisuuden, merentutkimuksen, tutkan ja seismologian fysiikkaan.

Trigonometrinen Fourier-sarja

Matematiikassa Fourier-sarja on tapa kuvata mielivaltaisia monimutkaisia funktioita yksinkertaisempien summien summana. Yleensä tällaisten ilmausten lukumäärä voi olla ääretön. Tässä tapauksessa, mitä enemmän niiden lukumäärää otetaan huomioon laskennassa, sitä tarkemmin saadaan lopputulos. Useimmiten trigonometriset kosini- tai sinusfunktiot käytetään yksinkertaisimmin. Tässä tapauksessa Fourier-sarjaa kutsutaan trigonometriksi, ja tällaisten ilmaisujen ratkaisu on harmonisen laajeneminen. Tällä menetelmällä on tärkeä rooli matematiikassa. Ensinnäkin trigonometrinen sarja tarjoaa kuvan keinot sekä tehtävien tutkimisen, se on teorian peruslaite. Lisäksi se mahdollistaa lukuisten matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaisemisen. Lopuksi tämä teoria myötävaikutti matemaattisen analyysin kehittämiseen , joka toi esiin lukuisia matemaattisen tieteen erittäin tärkeitä osia (integraalien teoria, periodisten funktioiden teoria). Lisäksi se toimi lähtökohtana seuraavien teorioiden kehittämiselle: joukot, reaalimuuttujien funktiot, funktionaalinen analyysi ja myös aloittivat harmonisen analyysin.