Todelliset luvut ja niiden ominaisuudet

Pythagoras väitti, että numero on maailman luomisesta samalla tasolla tärkeimmistä tekijöistä. Platon uskoi, että useita linkkejä ilmiön ja noumenon, auttaa tietää, punnitaan ja tehdä johtopäätöksiä. Aritmeettinen tulee sanasta "arifmos" - numero, lähtökohta matematiikan. On mahdollista kuvata mitään esinettä - alkeis omena abstrakteja tiloja.

Tarpeet kehitystekijänä

Alkuvaiheessa kehityksen yhteiskunnan ihmisten tarpeet rajoittaa tarve säilyttää pisteet - .. Yksi pussi viljaa, kaksi viljaa pussi jne Tätä se luonnolliset luvut, joukko, joka on ääretön jono positiivisia kokonaislukuja N.

Myöhemmin kehittäminen matematiikan tieteenä, se oli tarpeen erityisalalla kokonaislukujen Z - se sisältää negatiivisia arvoja ja nollan. Hänen esiintymisensä kotimaisella tasolla, se provosoi se, että alkuperäisen kirjanpito oli jotenkin korjata velkoja ja tappioita. Tieteellisellä tasolla, negatiiviset luvut ovat mahdollistaneet ratkaista yksinkertaisia lineaarisia yhtälöitä. Muun muassa se on nyt mahdollista kuvan triviaali koordinaatistossa, eli. A. Oli vertailukohta.

Seuraava askel oli tarve syöttää murtolukuja, koska tiede ei pysy paikoillaan, yhä uusia löytöjä vaati teoreettinen perusta uudelle push kasvua. Niin syntyi kentän rationaalilukujen Q.

Lopuksi, ei enää täytä vaatimuksia rationaalisuuden, koska kaikki uudet havainnot on perusteltava. Oli alan todellisia lukuja R, teoksia Eukleideen janan monikertoja tiettyjä määriä, koska niiden järjettömyyden. Että on, vanha kreikkalainen matemaatikko sijoitettu ei vain numero kuin vakio, vaan abstrakti arvo, joka on tunnettu siitä, että suhde yhteismitaton suuruudet. Johtuen siitä, että on olemassa todellisia lukuja, "näimme kevyt" arvoja kuten "pi" ja "e", jota ilman moderni matematiikka ei olisi tapahtunut.

Lopullinen innovaatio oli kompleksiluvun C. vastasi joukko kysymyksiä ja kiisti aiemmin annetun olettamuksia. Nopean kehityksen algebran lopputulos oli ennustettavissa - todellisia numeroita, päätös monia ongelmia ei ollut mahdollista. Esimerkiksi ansiosta kompleksilukujen erottui Säieteorian ja kaaos laajeni yhtälöt hydrodynamiikasta.

Joukko-oppi. kanttori

Käsite ääretön on aina kiistelty, koska se oli mahdotonta vahvistaa tai kumota. Yhteydessä matematiikan, joka toimii tiukasti todennettu postulates, se ilmeni selvimmin, sitä enemmän teologinen näkökulma yhä punnitaan tieteessä.

Kuitenkin työn kautta matemaatikko Georg Cantor kaikkien aikojen loksahtivat paikoilleen. Hän osoitti, että ääretön sarjaa on ääretön, ja että kentän R on suurempi kuin alan N, anna heidän molempien ja ei ole loppua. Keskellä XIX vuosisadan, hänen ajatuksiaan julkisuudessa roskaa ja rikos klassista muuttumaton Kanuunat, mutta aika laittaa kaiken sen tilalle.

Perusominaisuuksia kentän R

Todelliset luvut eivät vain ole samoja ominaisuuksia kuin podmozhestva että he ovat, mutta täydentää muilla masshabnosti nojalla sen osista:

• Zero R. olemassa ja kuuluu luokkaan c + = c 0 mistään C R.
• Zero olemassa ja kuuluu alan R. C x 0 = 0 mille tahansa C R.
• Suhteen c: d, kun d ≠ 0 on olemassa ja pätevä mihin tahansa c, d R.
• Kenttä R määräsi, eli jos c ≤ d, d ≤ c, c = d tahansa c, d R.
• Lisäksi alalla R on kommutatiivinen, eli c + d = d + c, mille tahansa c, d R.
• Lisääntymisen kenttä R on kommutatiivinen, eli x c x d = d c kaikilla c, d R.
• Lisäksi alalla R on assosiatiivinen eli (c + d) + f = c + (d + f) kaikkien c, d, f R.
• Lisääntymisen kenttä R on assosiatiivinen eli (c x d) x f = c x (d x f) kaikkien c, d, f R.
• Kullekin lukumäärän on R vastapäätä sitä siellä siten, että c + (-c) = 0, jossa c, -c R.
• Kullekin lukumäärän on R on, sen käänteinen siten, että c x c ^-1 = 1, missä c, c ^-1 R.
• Yksikkö on olemassa ja alue R, niin että c x 1 = c, mille tahansa c R.
• Se on potenssilain jakelu, niin että c x (d + f) = c x d + c x f, mille tahansa c, d, f R.
• R-kenttä on nolla, ei ole yhtä suuri yhtenäisyys.
• Kenttä R on transitiivinen: jos c ≤ d, d ≤ f, niin c ≤ f tahansa c, d, f R.
• R ja lisäksi järjestys on kytketty toisiinsa: jos c ≤ d, silloin c + f ≤ d + f kaikille c, d, f R.
• Järjestyksessä R ja kertomalla liittyvät: jos 0 ≤ c, 0 ≤ d, sitten 0 ≤ c x d tahansa c, d R.
• Negatiivisina ja positiivisina todellinen määrä ovat jatkuvia, toisin sanoen, minkä tahansa c, d ja Rf, on olemassa R, että c ≤ f ≤ d.

Moduuli kenttä R

Todelliset luvut sisältävät sellainen asia kuin moduuli. Nimennyt koska | f | mistään f R. | f | = F, jos 0 ≤ f ja | f | = F, jos 0> f. Jos ajatellaan moduuli geometrinen arvo, se on etäisyys - sillä ei ole väliä, "hyväksytty" te nollaksi kieltävästi positiiviseen tai eteenpäin.

Monimutkaisia ja todellisia lukuja. Mitä yhtäläisyyksiä ja eroja?

Mukaan ja suuria, monimutkaisia ja todelliset luvut - ne ovat yksi ja sama, paitsi että ensimmäinen liittyi imaginääriyksikköä i, neliö, joka on yhtä suuri kuin -1. Elementtien kentät R ja C voidaan esittää seuraavalla kaavalla:

• c = d + f x i, jossa d, f kuuluvat alan R, ja i - imaginääriyksikkö.

Saadaksesi c Rf tässä tapauksessa yksinkertaisesti arvion mukaan nolla, eli siellä on vain todellinen osa numero. Koska alalla kompleksilukujen on sama ominaisuus asetettu alalla todellinen, f x i = 0, jos f = 0.

Suhteen käytännön eroja, esimerkiksi alalla R asteen yhtälön ei voida ratkaista, jos erotteluanalyysi on negatiivinen, kun taas C-laatikko ei aseteta tämän rajoituksen tuomalla imaginääriyksikköä i.

tulokset

"Bricks" aksioomat ja postulates, jolle pohja matematiikan, eivät muutu. Joitakin niistä johtuu tiedotuksen lisääminen ja uusien teorioiden sijoitettu seuraavien "tiiliä", joka tulevaisuudessa saattaa tulla perusta seuraavaan vaiheeseen. Esimerkiksi, luonnolliset luvut, vaikka ne ovat osajoukko todellinen näkökenttä R, ei menetä merkitystä. On heille perusteella kaikkien alkeis aritmeettinen, joka alkaa tietoa rauhan mies.

Käytännön näkökulmasta, todelliset luvut näyttävät suoraviivaisesti. On mahdollista valita suunta, alkuperän määrittämiseksi ja piki. Suora koostuu ääretön määrä pisteitä, joista kukin vastaa yhtä todellinen määrä, riippumatta siitä, onko vai ei järkevä. Kuvauksesta on selvää, että puhumme käsitteestä, joka perustuu matematiikkaan yleensä ja matemaattinen analyysi erityisesti.