Russellin paradoksi: perustiedot, esimerkkejä, sekoituksessa

Russell paradoksi on kaksi toisiinsa sidoksissa loogista antinomy.

Kaksi muotoja Russellin paradoksi

Joista keskustellaan eniten muodossa ristiriita logiikka asettaa. Jotkut joukko näyttää olevan jäsenet itse, ja muut - no. Asettanut kaikki sarjat on itse asetettu, niin näyttää siltä, että se viittaa itseensä. Nolla tai tyhjä, ei kuitenkaan pitäisi olla jäsen itse. Siksi on asettanut kaikki sarjat, nolla ei sisälly itseensä. Paradoksi syntyy, kun kysymys siitä joukon jäsen itse. Tämä on mahdollista, jos ja vain jos se ei ole.

Toinen muoto paradoksi on ristiriita koskien ominaisuuksia. Jotkut ominaisuudet, näyttää viittaavan itseensä, kun taas toiset eivät. Kiinteistön omaisuutta itsessään on ominaisuus, kun kiinteistö on se kissa ei ole. Harkitse omaisuutta, jonka ominaisuus, joka ei kuulu hänelle. jos se koskee itse? Jälleen, mitä tahansa oletusten tulisi olla päinvastainen. Paradoksaalista nimettiin kunniaksi Bertrand Russell (1872-1970), joka löysi sen vuonna 1901.

tarina

Aukko Russell tapahtui hänen työstään "Principles of Mathematics". Vaikka hän löysi paradoksi itsenäisesti, on näyttöä siitä, että muut matemaatikot ja kehittäjät set theory, kuten Ernst Zermelo ja David Hilbert, olivat tietoisia ensimmäisen version ristiriitaisuuksia ennen häntä. Russell oli kuitenkin ensimmäinen, joka käsitellään yksityiskohtaisesti paradoksi hänen julkaistuja teoksia, yritti ensin laatia ratkaisuja ja ensimmäinen täysin arvostaa sen merkityksestä. Koko luku "Periaatteet" oli keskusteltu laajasti tätä asiaa, ja hakemus on omistettu teorian tyyppejä, joista Russell ehdotti ratkaisuksi.

Russell löysi "paradoksi valehtelija', kun otetaan huomioon Cantor n joukko-oppi, joka sanoo, että valta tahansa joukko on pienempi kuin asetettu sen alaryhmissä. Ainakin domeenin tulisi olla niin monta osajoukkoja kuin on elementtejä, jos se on yksi osajoukko jokainen elementti on asetettu, jotka sisältävät vain tätä elementtiä. Lisäksi, Cantor osoitti, että elementtien lukumäärä voi olla yhtä suuri määrä osajoukkoja. Jos oli sama numero, sen pitäisi olla ƒ ominaisuus, joka siirtää elementtejä niiden osajoukkoja. Samalla voidaan todistaa, että se on mahdotonta. Jotkin kohteet saattavat näkyä toiminto ƒ osajoukot, jotka sisältävät niitä, kun taas toiset eivät.

Tarkastellaan osajoukko elementtejä, jotka eivät kuulu niiden kuvien, joissa ne näyttää ƒ. Se on itse osajoukko elementtejä, ja sen vuoksi, ƒ toiminto olisi näyttää sen osa verkkotunnuksen. Ongelmana on, että herää kysymys, onko tämä seikka kuuluu osajoukon jossa näytössä ƒ. Tämä on mahdollista vain, jos se ei kuulu. Russellin paradoksi voidaan pitää esimerkkinä samaa päättelyä, vain yksinkertaistetaan. Mikä on enemmän - sarjaa tai niiden osia, asetettu? Näyttäisi siltä, että pitäisi olla useampia televisioita, koska kaikki osajoukot sarjojen itse. Mutta jos Cantorin lause on totta, niin siellä pitäisi olla enemmän osajoukkoja. Russell pitää yksinkertaisesti näyttää sarjaa itseään ja levittää kantoriansky lähestymistapa ottaen asetettu kaikkien näiden elementtien, ulkopuolella joukko, jossa ne näkyvät. Näytetään Russell tulee asetettu kaikkien asetetaan, ei.

virhe Fregen

"Paradoksi valehtelija" oli syvällinen vaikutus historialliseen kehitykseen teorian sarjoiksi. Hän osoitti, että käsite universaali sarja on hyvin ongelmallista. Hän myös kyseenalaisti käsityksen, että kunkin määritellyn ehdon alkurikoksiin voi olettaa, että on olemassa useita vain niitä asioita, jotka täyttävät tämän ehdon. Vaihtoehto paradoksi koskevat ominaisuudet - luonnollinen laajennus versioon sarjaa - vakavia epäilyjä siitä, onko mahdollista väitellä tavoitteen olemassaolosta kiinteistön tai yleinen vaatimustenmukaisuus jokaisen määräytyy ehdolla, alkurikoksiin.

Pian ristiriitoja ja ongelmia työssä logicians löydettiin, filosofit ja matemaatikot jotka ovat tehneet vastaavia olettamuksia. Vuonna 1902, Russell todettiin, että muunnos paradoksi voidaan ilmaista loogisena järjestelmässä kehitetty Volume I Gottlob Frege n "Foundations of aritmeettinen", yksi tärkeimmistä teosten logiikka myöhään XIX - varhainen XX luvulla. Filosofian Fregen monet ymmärretään "jatkeeksi" tai "arvo-alue" käsite. Käsitteet ovat lähimpänä niitä korrelaatit. Niiden odotetaan esiintyvän jonkin tietyn tilan tai predikaatti. Siten on olemassa käsite joukko, joka ei kuulu sen määrittelyssä käsite. Myös luokka määrittelee tämän käsitteen, ja se edellyttää määrittelemällä sen käsitettä vain, jos se ei ole.

Russell kirjoitti Fregen tästä konfliktista kesäkuussa 1902 kirjeenvaihto on tullut yksi mielenkiintoisimmista ja puhui historian logiikkaa. Frege välittömästi tunnisti tuhoisat seuraukset paradoksi. Hän totesi kuitenkin, että versio kiista kiinteistöt filosofiansa ratkaistiin erottamalla käsitteiden tasolle.

Fregen käsite ymmärretään siirtymistä väitteet toiminnon TOSI. Käsitteet Ensimmäinen taso ottaen argumentteina esineitä toisen tason käsitteitä kestää argumentteina näitä toimintoja, ja niin edelleen. Näin ollen käsite voi koskaan ottaa itse argumenttina, ja paradoksi kannalta ominaisuuksia ei voi formuloida. Kuitenkin asettaa, laajennus tai käsitteiden Fregen ymmärrettävä viittaavan samaan loogiseen tyyppiä kuin kaikkien muiden esineitä. Sitten jokainen sarja on kysymys siitä, onko se kuuluu käsitteen määrittelyssä sitä.

Kun Frege, Russell saanut ensimmäisen kirjeen, toisen osan "Foundations of aritmeettinen" on jo päättynyt tulosta. Hän joutui nopeasti laatia sovellus, joka antaa vastauksen paradoksi Russell. Esimerkkejä Fregen sisälsi useita mahdollisia ratkaisuja. Mutta hän tuli siihen tulokseen, heikentää käsitettä abstraktio asetettu looginen järjestelmään.

Alkuperäisessä, oli mahdollista päätellä, että esine kuuluu joukkoon, jos ja vain jos se kuuluu käsitteeseen, määrittelee sen. Tarkistetun järjestelmä voi vain todeta, että esine kuuluu joukkoon, jos ja vain jos se kuuluu käsitteen määrittävät useita, mutta ei aseta ko. Russellin paradoksi syntyy.

Ratkaisu ei kuitenkaan ole täysin tyytyväinen Fregen. Ja tämä oli syy. Useita vuosia myöhemmin, monimutkaisempi muoto ristiriita on löytynyt tarkistetun järjestelmän. Mutta jo ennen tätä tapahtui, Fregen luopui päätöksiä ja näyttävät tullut siihen tulokseen, että hänen lähestymistapa oli yksinkertaisesti mahdoton ja että logiikka joutuu tulemaan toimeen ilman mitään sarjaa.

Toiset on ehdotettu, suhteellisesti enemmän onnistuneita vaihtoehtoisia ratkaisuja. Nämä käsitellään jäljempänä.

Teoria tyypit

Todettiin, edellä, että Fregen oli asianmukainen vastaus paradokseja set theory versiossa formuloitu ominaisuuksia. Fregen vastaus edelsi joista keskustellaan eniten ratkaisu tähän muotoon paradoksi. Se perustuu siihen, että ominaisuuksia valvotaan erilaisia ja minkälainen omaisuus on koskaan sama kuin kohteita, joihin se viittaa.

Siten edes herää kysymys, onko omaisuus on sovellettavissa itse. Looginen kieli, joka erottaa elementtejä tällaisen hierarkian teoriaa käyttäen tyyppejä. Vaikka se on jo käytössä Fregen, ensimmäistä kertaa on täysin selvitetty ja perusteltuja Russell liitteessä periaatteen "". Teoria tyypit oli kattavampi kuin ero Fregen tasoilla. Hän kertoi ominaisuudet eivät ole pelkästään erilaisia logiikkaa, mutta myös asettaa. tyyppi teoria ratkaista ristiriidan paradoksi Russell seuraa.

Ollakseen filosofisesti riittävä, hyväksyminen teorian tyyppisiä ominaisuuksia vaatii kehittämistä teorian luonne ominaisuuksia, jotta voisi selittää, miksi niitä ei voida soveltaa itse. Ensi silmäyksellä, on järkevää ennustaisi omaa omaisuutta. Omaisuutta on Identiteetin, näyttäisi siltä, se on myös oman identiteetin. Omaisuus näyttää olevan mukavaa nautittavaa. Samoin ilmeisesti näyttää väärin sanoa, että omaisuutta on kissa on kissa.

Kuitenkin, eri ajattelijat perusteltua jako eri tyyppejä. Russell jopa antoi erilaisia selityksiä eri aikoina urallaan. Omalta perustelut erottaminen eri käsitteitä Fregen tasoilla tulee hänen teorian tyydyttymättömiä käsitteitä. Käsitteet kuten toiminto, pohjimmiltaan ovat puutteellisia. Tarjota arvo, he tarvitsevat argumentti. Et voi vain yksi käsite ennustaisi käsitettä samaa tyyppiä, koska se vaatii vielä sen väitteen. Esimerkiksi vaikka on mahdollista ottaa neliöjuuri neliöjuuri joukon, et voi vain käyttää neliöjuuri toiminto neliöjuuren funktion tuloksen saamiseksi.

Tietoja konservatismi ominaisuudet

Toinen mahdollinen ratkaisu on paradoksi ominaisuudet negaatio ominaisuuksien olemassaolo missään annetuissa olosuhteissa, tai hyvin muodostuneita predikaatti. Tietenkin, jos joku eschews metafyysisiä ominaisuuksia sekä puolueeton ja riippumaton elementit kokonaisuutena, jos otamme Nominalismi paradoksi voidaan välttää kokonaan.

Kuitenkin ratkaista antinomy ei tarvitse olla niin äärimmäistä. Logiikka korkeamman asteen kehitetyt järjestelmät Fregen ja Russell, sisältää mitä kutsutaan käsitteellinen periaate, jonka mukaan kukin avoin kaavat riippumatta siitä, miten monimutkainen olemassa osana omaisuuden tai käsite esimerkiksi, vain ne tuotteet, jotka vastaavat kaavaa. Ne levitetään ominaisuuksia kaikki mahdolliset joukko ehtoja tai predikaatteihin, riippumatta siitä, miten monimutkainen ne olivat.

Oli kuitenkin mahdollista ottaa tiukempi metafysiikka ominaisuuksia, jotka oikeuttavat tavoitteen olemassaolon yksinkertaisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi kuten punainen väri, kiinteys, ystävällisyys ja niin edelleen. D. Voit jopa antaa näitä ominaisuuksia koskevat itseään, kuten ystävällisyys voi olla ystävällinen.

Ja sama asema monimutkaisia ominaisuuksia voidaan evätä esimerkiksi, kuten "ominaisuudet" olevan seitsemäntoista-päät, voidaan kirjoitettu alla veden ja vastaavat. D. Tässä tapauksessa, ei ennalta määrätyn ehdon ei täytä omaisuutta, ymmärretään erikseen nykyisten elementti, jolla on oma ominaisuuksia. Näin voidaan kieltää olemassaolon yksinkertainen ominaisuudet on-ominaisuus-, että-ei-levitetään-to-itse ja välttää paradoksi soveltamalla useammalla konservatiivisella metafyysinen ominaisuuksia.

Russellin paradoksi: ratkaisu

Edellä todettiin, että lopussa hänen elämänsä Fregen lopetti logiikkaa sarjaa. Tämä tietenkin yksi ratkaisu antinomy muodossa sarjaa: yksinkertainen olemassaolon kieltäminen tällaisten elementtien koko. Lisäksi on olemassa muita suosittuja valintoja, perusteet, jotka on esitetty alla.

Teoria monenlaisille

Kuten aiemmin mainittiin, Russell pelasi täydellisempi teoria tyyppejä, jotka jakavat paitsi ominaisuuksia tai käsitteet erilaisia, mutta myös asettaa. Russell jaetun asetettu useita erillisiä yksiköitä, useita sarjaa erillisiä esineitä, jne sarjaa kohteiden ei pidetty, ja monilukuisen - .. sarjat. Paljon koskaan nauttinut tyyppiä, voit olla jäsenenä itse. Siksi ei ole asetettu kaikkien joukkoja, jotka eivät kuulu omaa, koska mistään joukon kysymyksiä siitä, onko se jäsenenä, on itsessään rikkoo tyyppiä. Jälleen kysymys tässä selittää metafysiikan asettaa selittää filosofinen perustuksia jako tyyppejä.

kerrostuma

Vuonna 1937 V. V. Kuayn on tarjota vaihtoehtoinen ratkaisu, samaan tapaan kuin teorian tyyppejä. Perustiedot siitä ovat.

Erotuselin sarjaa ym. Valmistetaan siten, että oletus löytää useista aina on virheellinen tai merkityksetön. Sarjaa voidaan antaa vain, kun ne laativat edellytykset eivät loukkaa tyyppiä. Näin ollen Quinen, ilmaisu "x ei ole jäsen x" on mielekäs toteamus ei tarkoita, että on olemassa joukko kaikki elementit x täyttävät tämän ehdon.

Tässä järjestelmässä joukko on olemassa muutamia avoimia kaavan A mukainen, jos ja vain jos se on ositettu, t. E. Jos muuttujat on liitetty positiivisia kokonaislukuja niin, että kunkin ominaisuuden esiintymisen useista edellisen se muuttuja on määritetty antoyksikössä pienempi kuin muuttujan seuraavat hänen jälkeensä. Tämä estää Russellin paradoksi, koska kaavaa käytetään määrittämään ongelman joukko on sama ennen ja jälkeen muuttujan jäsenyyden merkin tehden stratifioitu.

Mutta se on vielä, onko tuloksena olevan järjestelmän, joka Quinen nimeltään "New Foundations of matemaattinen logiikka" johdonmukainen.

hylkäys

Täysin erilaisen lähestymistavan otetaan teorian Zermelo - Fraenkel- (ZF). Tässäkin asettaa rajan olemassaolosta sarjaa. Sen sijaan lähestyy "ylhäältä alas" Russell ja Frege, jotka aluksi ajateltiin, että kaikki käsitteet, ominaisuudet tai olosuhteet voivat ehdottaa olemassaolon joukko kaiken tämän omaisuutta tai vastata tällaista ehtoa, vuonna ZF-teoriassa, kaikki alkaa "alhaalta ylöspäin."

Yksittäiset elementit tyhjä joukko ja muodostavat yhden kokonaisuuden. Siksi toisin kuin aikaisemmat järjestelmät ja Russell Frege FIT ei kuulu universaali sarja, joka sisältää kaikki elementit, jopa kaikki sarjat. ZF asettaa tiukat rajat olemassaolosta sarjaa. Voi olla vain ne, joita varten se on selvästi oletettu tai jotka voidaan formuloida avulla iteratiivisen prosessien ja vastaavat. D.

Sitten, sen sijaan, että käsite abstraktio naiivi joukko, jossa todetaan, että tietyn elementin sisältyy joukkoon, jos ja vain jos se täyttää ehdot erotteluperiaate käytetään DF, erotus- tai "lajittelu". Sen sijaan, että oletettaisiin, että joukko kaikki elementit, jotka ovat poikkeuksetta täytettävä tietyt ehdot, kunkin nykyisen järjestelyn Aussonderung voidaan päätellä, että osa kaikista elementtejä alkuperäisten joka täyttää ehdon.

Sitten tulee abstraktio periaate: jos joukko A on olemassa, niin, kaikilla x A, x kuuluu osajoukkoon A, joka täyttää ehdon, jos ja vain jos x täyttää ehdon C. Tämä lähestymistapa ratkaisee paradoksi Russell, koska emme voi vain olettaa eli asetettu kaikkien joukkoja, jotka eivät ole jäseniä itseään.

Ollut paljon asetetaan, voit valita vai jaetaanko se asetetaan, jotka ovat itsessään, ja ne, jotka eivät ole sellaisia, mutta sillä ei ole yleistä joukko meitä eivät sido asetettu kaikkien sarjoiksi. Olematta ongelma asettaa Russell ristiriitaa ei voida todistaa.

muita ratkaisuja

Lisäksi on ollut myöhemmin laajennuksia tai muutoksia näiden liuosten, kuten haarukka-tyyppinen teoria "Principles of Mathematics" järjestelmän laajentaminen "matemaattinen logiikka" Quine, sekä viimeisimmän kehityksen teorian sarjaa, tehty Bernays, Gödel ja von Neumann. Kysymys siitä, onko vastaus liukenemattomia paradoksi Bertrand Russell löytyi, on vielä Kiistanalaista.